Wurzel 3 irrational?

7 Antworten

(2)^1/3 = m/n ->

2 = (m/n)^3 ->

2 = m^3 / n^3 ->

2 n^3 = m^3 ->

m^3 ist also durch 2 teilbar, somit gerade.

wenn man eine gerade zahl hoch 3 nimmt bleibt sie gerade. eine ungerade zahl hoch 3 ist ungerade - > m = gerade.

bedeutet man kann m als m = 2k schreiben.

2k^3 = 8 k^3

da 2 n^3 = m^3

gilt 2 n^3 = 8 k^3

somit ist n teilbar.

n und m sind somit teilbar.

Woher ich das weiß:Studium / Ausbildung – Informatik Student im 7. Semester (Bachelor)

Tausch die 2 mit ner 3 aus, und die hoch 1/3 mit ner hoch 1/2, sorry, hab mich bisschen verlesen xD Dachte dritte wurzel 2 xD

Ach mann dann gehst nicht sorry. Mein Fehler. xD

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Du musst das ganze indirekt angehen. Heißt : Das Gegenteil beweisen. Du gehst also davon aus, dass die dritte Wurzel von 2 rational ist. rational bedeutet, man kann sie als Bruch der Form m / n darstellen, wobei m und n natürliche Zahlen (m =/= 0) sind.

Du gehst davon aus, dass m / n vollständig gekürzt ist. Dann rechnest du das ganze so lange um, bis du merkst, dass m / n nicht vollständig gekürzt ist -> wiederspruch -> irrational.

Woher ich das weiß:Studium / Ausbildung – Informatik Student im 7. Semester (Bachelor)

Der bekannteste Trick ist dabei, einen Widerspruchsbeweis zu führen, indem du die Annahme sqrt(3) = a/b zu einem Widerspruch führst, und zwar mit minimal gewähltem b, d.h. b soll gerade die kleinste natürliche Zahl sein, sodass sqrt(3) = a/b für irgendein a gilt. Daraus folgt entsprechend 3 = a^2/b^2 bzw. 3b^2 = a^2. Versuche jetzt zu zeigen, dass du doch noch ein kleineres b findest. Das ist dann der Widerspruch zu deiner Annahme.

Hallo,

führe einen Widerspruchsbeweis:

Wurzel 3 ist rational, also ein Bruch zweier ganzer Zahlen p/q.

Geht das? oder führt diese Annahme zu einem Widerspruch?

Herzliche Grüße,

Willy

Schau dir mal einen Beweis (durch Widerspruch) für die Irrationalität der Wurzel aus 2 an.

Das lässt sich analog auf die Wurzel von 3 übertragen.

"Sei sqrt(3) rational, d.h. sqrt(3) = a/b für a,b in Z und ggT(a,b)=1 (sonst Bruch kürzbar)."

So in etwa solltest du anfangen.

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