Wann ist ein Logarithmus irrational?

2 Antworten

Meinst du die Frage "Wann ist eine Wurzel irrational"?

Der Logarithmus wäre hier die Ordnung der Wurzel (a in a-te Wurzel aus b) - bzw. genauer der Kehrwert hiervon.

Am besten indirekt und mit gekürzten Brüchen:

Wenn b^(1/a) rational ist, dann lässt es sich in der Form p/q darstellen (p, q natürliche Zahlen, teilerfremd).

Dann ist b = (p/q)^a = p^a / q^a .

Da a eine natürliche Zahl ist, werden alle Exponenten in den Primzahlzerlegungen von p und q mit a multipliziert. Insbesondere kommen keine weiteren Primzahlen hinzu (wo 0 steht, bleibt eine 0).

Also sind p^a und q^a wiederum teilerfremd.

Da p^a / q^a = b eine ganze Zahl ist, muss notwendigerweise q = 1 sein.

Wenn die Zahl sich nicht als e hoch eine rationale Zahl schreiben lässt.

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