Beweis das Wurzel aus 2 irrational ist...WARUM MUSS DER BRUCH TEILERFREMD SEIN?
Ich habe mir gerade ein Video von Youtube über den Beweis angeguckt, dass Wurzel aus 2 irrational ist, also nicht in einem Bruch darzustellen ist. Das verstehe ich ja alles, aber warum ist die Bedingung das der ggT 1 sein muss? Rationale Zahlen sind doch auch nicht immer Teilerfremd.
Bitte eine logische Erklärung, weil ich das dann als Vortrag halten muss. thx.
Achso, hier der Link zum Video: http://www.youtube.com/watch?v=3q11YjeSX6c
3 Antworten
Der Beweis im Video ist aus vielen Gründen sowieso murks.
1) Deine Frage zeigt ein Dilemma (was eigentlich nur zeigt, dass man das Prinzip des Beweises nicht verstanden hat, sorry :-))
2) Es taucht ein neues Problem bei wurzel(4) auf. Hier funktioniert der Beweis scheinbar auch, wo steckt aber da der Fehler?
Mach besser folgendes:
Sei wurzel(2)=a/b, dann ist
a^2 = 2 * b^2.
Nun machst du in Gedanken links und rechts eine Primfaktorzerlegung:
Die Zahl a hat eine bestimmte Menge an 2en als Primfaktoren (zum Beispiel hat 24 = 2 * 2 * 2 * 3 dreimal die 2), die Zahl a^2 hat damit die doppelte Anzahl von Zweien als Primfaktoren. Links steht also eine gerade Anzahl an Primfaktoren 2.
Rechts steht aber eine ungerade Anzahl an Primfaktoren 2, nämlich eine gerade Anzahl wegen b^2 und eine 2 zusätzlich.
Damit kann die Gleichung nicht stimmen, du hast deinen Widerspruch.
Der Vorteil dieses Beweises sind die fehlenden Voraussetzungen (die im anderen Beweis für Nichtmathematiker etwas merkwürdig aussehen), man braucht nichts zu kürzen, außerdem sieht man direkt, dass der Beweis für wurzel(4) nicht zu einem Widerspruch führt, denn 4 = 2 * 2 hat auch eine doppelte Anzahl von Primfaktoren, es ergibt sich also kein Widerspruch.
Außerdem kann man aus diesem Beweis leicht folgenden, allgemeineren Satz beweisen:
Die Wurzel aus einer natürlichen Zahl ist genau dann rational, wenn jeder Primfaktor der Zahl in gerader Anzahl vorkommt.
Hi,
da ich genau das gleiche Problem hatte, versuche ich das nochmal aus meinem Standpunkt zu formulieren:
Wurzel(2) soll mit einem Bruch p / q darstellbar sein. Theoretisch hat der TO recht und der Bruch p / q kann, muss aber nicht, teilerfremd sein. Warum dürfen nun ohne Weiteres annehmen, dass p und q gekürzt / teilerfremd sind ? Der Beweis (https://de.wikipedia.org/wiki/Beweis_der_Irrationalit%C3%A4t_der_Wurzel_aus_2_bei_Euklid#Beweis) sagt aus, dass man p und q in JEDEM(!) Fall kürzen kann. Wenn p und q nun nicht teilerfremd (kürzbar) gewählt werden, dann würde der Beweis nicht funktionieren. Aber sollten p und q teilerfremd gewählt sein, dann entsteht eben der Widerspruch, welcher im dem Beweis zu finden ist. Ich darf p und q als teilerfremd voraussetzen, weil es tatsächlich sein kann, dass p und q teilerfremd sind (sind ja nur Platzhalter / Variablen). Dem Beweis zu folge, kann man p und q IMMER(!) kürzen und das ist schlicht und ergreifend falsch / widersprüchlich.
Ich kann jeden Bruch solange kürzen, bis der ggT 1 ist.
Wenn W(2) durch ein Bruch darstellbar wäre, müssten Zähler und Nenner gerade sein. Widerspruch, weil man von einem unkürzbaren Bruch ausgehen kann.
> "ist mir schon klar, aber warum soll das Ergebnis des Beweises nicht zu kürzen sein."
Weil du vorausgesetzt hast, dass der Bruch bereits gekürzt ist. Und das kann man voraussetzen: ist eine Zahl überhaupt durch einen Bruch darstellbar, dann immer auch durch einen gekürzten.
ist mir schon klar, aber warum soll das Ergebnis des Beweises nicht zu kürzen sein.