Wieviele binomische Formeln gibt es?
Hallihallo!
Kann man sagen, dass es unendlich viele binomische Formeln gibt? Sprich Ordnung 3, 4, 5 (...), oder werden die als sowas wie Abwandlungen betrachtet und es gibt doch nur drei?
Danke!
4 Antworten
Es gibt unendlich viele erste und zweite binomische Formeln. Aber nur eine dritte binomische Formel.
Die erste allgemeine binomische Formel lautet:
die zweite logischerweise
mit n als ganzer positiver Zahl einschl. Null .
Die Auflösungen bis zu (a+-b)^3 sollte man auswendig können, ab der Potenz 4 bemüht man dann das Pascalsche Dreieck.
Es gibt unendlich viele Möglichkeiten, Binome miteinander zu verknüpfen.
3 dieser Äquivalenzen haben einen Namen.
Die "binomischen Formeln" sind ja nichts Eigenständiges in der Mathematik, sie ergeben sich unmittelbar aus anderen Äquivalenzumformungen. Sie sind aber nützliche "Abkürzungen" und gehören zu den wenigen Dingen in der Mathematik, die man auswendig können sollte.
Es gibt genau die drei aus der Schule bekannten binomischen Formeln. Entsprechende Formeln für höhere Potenzen, also (a+b)^n fasst man unter dem binomischen Lehrsatz zusammen: https://de.wikipedia.org/wiki/Binomische_Formeln#H%C3%B6here_Potenzen_und_Faktorisierungen_von_Potenzsummen
Es gibt zugleich eine und unendlich viele. Mit Summendarstellung inkl Binomialkoeffizient kannst du eine verallgemeinerte Formel für alle binomische Formeln benutzen. Zumindest für den Zahlenbereich der reellen Zahlen.
Zugleich gibt es unendlich viele, weil für jeden Exponenten n eine präzise Formel ohne Summendarstellung entwickelt werden kann.