Wieso ist das bei Vektoren so?
wie kann man sich das anschaulich erklären
, dass wenn ich mich auf dieser gerade befinde, jeder punkt durch folgende form dargestellt bzw. berechnet werdne kann:
x*v1 + y *v2 , also wie kann ich mir das erklären, dass wenn ich nur einen teil von v1 und einen teil von v2 habe und das addiere dann mich auf dieser roten linie befinde
*Fehler: also x und y sind jeweils grö0er gleich 0 und kleiner gleich 1
2 Antworten
v₂ - v₁ gibt den Vektor vom Punkt mit Ortsvektor v₁ zum Punkt mit Ortsvektor v₂ an.
Wenn man zum Ortvektor v₁ einmal den gesamten Vektor v₂ - v₁ addiert, erhält man den Ortsvektor v₂...
Wenn man zum Ortvektor v₁ 0-mal den Vektor v₂ - v₁ addiert, also den Nullvektor addiert, bleibt man beim Ortsvektor v₁...
Wenn man nun nicht einfach den Nullvektor oder den gesamten Vektor addiert, sondern einen Anteil zwischen dem Nullvektor und dem gesamten Ortsvektor v₂ - v₁ zum Vektor v₁ addiert, also wenn man das t-fache des Vektors v₂ - v₁ (mit 0 ≤ t ≤ 1) zu v₁ addiert, erhält man den Ortsvektor eines Punktes auf der Strecke zwischen den beiden Punkten mit den Ortsvektoren v₁, v₂...
Das kann man nun noch nach v₁ bzw. v₂ sortieren...
Wenn man nun x = 1 - t und y = t setzt, erhält man...
Dabei können x, y jedoch nicht beliebig gewählt werden, sondern wegen x = 1 - t = 1- y muss dann x + y = 1 sein. Und damit 0 ≤ t ≤ 1 erfüllt ist, muss entsprechend 0 ≤ x ≤ 1 bzw. 0 ≤ y ≤ 1 sein.
======Ergänzung======
Das ganze kann man übrigens zu sogenannten baryzentrischen Koordinaten erweitern.
Siehe beispielsweise auch: https://de.wikipedia.org/wiki/Baryzentrische_Koordinaten
Dafür bietet sich aber evtl. auch eher eine andere Sichtweise an, sich das als eine Art gewichteten Mittelwert vorzustellen...
Wenn man v₁ mit einem (nicht-negativen) Gewicht m₁ gewichtet und v₂ mit einem (nicht-negativen) Gewicht m₂ gewichtet, erhält man als gewichteten Mittelwert...
Wenn man v₁ stark gewichtet (x nahe 1 bzw. y nahe 0) so befindet sich der gewichtete Mittelwert nahe v₁. Wenn man hingegen v₂ stark gewichtet (x nahe 0 bzw. y nahe 1) so befindet man sich nahe v₁. Mit irgendwelchen anderen Gewichtungen befindet man sich irgendwo (auf der Strecke) dazwischen.
Auch hier kann man wieder nicht x, y beliebig wählen. Sondern aufgrund der Identifikation mit m₁/(m₁ + m₂) bzw. m₂/(m₁ + m₂) ergeben sich wieder die Bedingungen 0 ≤ x ≤ 1 und 0 ≤ y ≤ 1 und x + y = 1.
Statt allgemeinere Gewichte m₁ und m₂ zu verwenden, kann man auch direkt mit x, y mit den entsprechenden Bedingungen (0 ≤ x ≤ 1 und 0 ≤ y ≤ 1 und x + y = 1) als Gewichte arbeiten, denn dann vereinfacht sich der Term wegen x + y = 1, da dann der auftretende Nenner gleich 1 ist und dementsprechend wegfällt...
Naja. Also ich kann mir das grafisch so sehr gut vorstellen, dass man von einem Punkt aus einen gewissen Anteil der Wegstrecke geht und dann entsprechend irgendwo auf der Wegstrecke liegen bleibt.
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Ich habe aber noch eine andere Sichtweise ergänzt, wie man sich das auch noch vorstellen kann, nämlich als gewichtetes Mittel.
Vielleicht empfindest du diese Sichtweise als einfacher.
ja das ergänzt sich ganz gut, aber als ich mir das problem das erste mal nageschaut habe, habe ich nicht sofort gecheckt, dass die form so sein muss bzw. dass es sich hier um diese gerade handelt
dass wenn ich nur einen teil von v1 und einen teil von v2 habe und das addiere dann mich auf dieser roten linie befinde
Das ist nicht korrekt.
Die gilt nur wenn, bei (x*v1 + y *v2) y und y gleich sind.
ne wenn ich 2/3 mal v1 und 1/3 mal v2 habe bin ich auf der roten linie
also ist die erklärung doch nicht soo trivial oder? weil grafisch kann man das nicht so gut sehen