Wieso ist 3^x das gleiche wie e^(ln(3)x)?
6 Antworten
Nach Definition des (natürlichen) Logarithmus als Umkehrung zur (natürlichen) Exponentialfunktion gilt
für alle positiven reellen Zahlen t. Insbesondere gilt auch
und damit dann
=============
Dir sollte evtl. die folgende Rechenregel für Potenzen bereits bekannt sein... Für alle nicht-negative reelle Zahlen a und für alle reelle Zahlen b, c gilt:
Im konkreten Fall mit a = e und b = ln(3) und c = x erhält man dann:
========================
Insgesamt erhält man also:
a ist hier 3^x
Das liegt an der Definition des (natürlichen) Logarithmus und den Potenzgesetzen.
Konkret die Definition des natürlichen Logarithmus:
ln(a): e^ln(a) = a (sofern der Ausdruck überhaupt einen Sinn ergibt, im Reellen also für a>0)
ausführlicher: x = ln(a) genau dann, wenn e^x = a gilt. Bzw. ln(a) ist diejenige Zahl, nennen wir sie x, für die gilt: e^x = a (falls überhaupt eine solche Zahl x existiert).
und das Potenzgesetz:
a^(b*c) = (a^b)^c
mit
a=e
b=ln(3)
c=x
Hallo,
ln (3x) ist die Zahl, mit der die Zahl e potenziert werden muß, um 3x zu erhalten.
Daher ist e^ln(3x) das Gleiche wie 3x.
Allerdings funktioniert das nur für x>0, denn e hoch irgendwas kann niemals 0 oder negativ werden.
Herzliche Grüße,
Willy
Weil e^ln(x) = x für x € (0, oo)
In deinem Fall:
e^(ln(3)*x) = (e^ln(3))^x = 3^x