In ln ist keine 0 bzw. negative Zahlen einzusetzen. Aber wenn ich den Betrag von ln mache, dann ist meine Definitionsmenge ja nicht mehr R+?
Problem/Ansatz:
… man darf ja in ln keine 0 bzw. negative Zahlen einsetzten. Aber wenn ich den Betrag von ln mache, dann ist meine Definitionsmenge ja nicht mehr R+.
Und warum darf ich dann negative zahlen beim Betrag einsetzen?
4 Antworten
Du "machst nicht den Betrag von ln", sondern du setzt |x| als Argument ein. Ich nehme an, dass das gemeint ist. Da ist die Definitionsmenge R ohne 0.
1.
Negative Zahlen in einer Logarithmusfunktion sind definiert, da:
ln(x) = ln(|x| * e^{arg(x)}) = ln(|x|) + ln(e^{arg(x)}) = ln(|x|) + arg(x)
Für negative x folgt:
ln(|x|) + arg(x) = ln(|x|) + arctan2(0, x) = ln(|x|) + πi + 2kπi (i := √-1 und k E Z)
Demzufolge können Sie einfach den Logarithmus aus jeder reellen Zahl ungleich 0 ziehen (auch aus jeder hyperkomplexen Zahl ungleich 0).
2.
Die Formulierungsweise ist nicht eindeutig.
So kann mit den Betrag von "ln(x)" "|ln(x)|" gemeint sein, aber auch ln(|x|). Das wie sie es gesagt haben würde ersteres implizieren, doch die Frage lässt eher auf zweiteres schließen.
Wenn Sie zweiteres sagen wollten hätten sie z.B. direkt die Formulierung "ln(|x|)" oder etwas wie "das Argument der Logarithmusfunktion soll |x| sein".
3.
Das restliche Zeug haben schon die anderen genannt...
Betrag von ln oder ln vom Betrag?
Das erste wäre f(x) = | ln(x) |, das zweite g(x) = ln(|x|).
Die Definitionsmenge ist beim erste R+, weil man, wie du oben richtig schreibst, beim reellen Logarithmus keine negativen Zahlen und keine Null einsetzen darf.
Bei g(x) verhält es sich anders, weil erst der Betrag gebildet und dann davon der Logarithmus bestimmt wird. Die Betragsfunktion bildet negative Zahlen auf die entsprechenden positiven Zahl ab, so dass g(-2) also durchaus definiert ist. Die Definitionsmenge ist dann R \ {0}, weil du Null immer noch nicht einsetzen kannst.
Bei f(x) = ln(x) ist Definitionsmenge D = R+
Bei f(x) = ln(|x|) ist D = R ohne 0, denn negative Zahlen die du einsetzt werden ja direkt positiv, sind also erlaubt.
Bei f(x) = |ln(x)| ist D = R+, wie ohne den Betrag