Wie wie viele Möglichkeiten gibt es vier Angestellte drei Telefonate erledigen zu lassen (Kombinatorik) ?

Frage - (Mathematik, Kombinatorik)

3 Antworten

Hallo,

15 ist richtig.

Du berechnest das über den Binomialkoeffizienten [(n+k-1) über k] aus.

Das ist die Kurzschreibweise für (n+k-1)!/[k!*(n-1)!]

Es handelt sich dabei um ein Modell von Ziehen ohne Beachtung der Reihenfolge mit Zurücklegen.

k ist dabei die Anzahl der Telefonate, während n die Zahl der Angestellten ist, auf die die Telefonate verteilt werden.

Also (3+4-1) über 4=6 über 4=6!/[4!*(3-1)!]=(1*2*3*4*5*6)/(1*2*3*4*1*2)=15

Das ist genauso, als würdest Du 4 Bonbons an 3 Kinder verteilen, wobei ein Kind auch alle vier Bonbons bekommen kann, während die anderen leer ausgehen.

Bei einer Urne wäre es so, als hättest Du drei Kugeln, die mit 1, 2 und 3 beschriftet sind, würdest viermal eine Kugel ziehen, wobei Du die Kugel nach jedem Zug zurücklegst und Dir das Ergebnis jeweils notierst.

Es gibt dann vier Möglichkeiten:

Du ziehst viermal die gleiche Zahl. Das ist auf drei Arten möglich, weil es drei Zahlen gibt: 1-1-1-1; 2-2-2-2; 3-3-3-3

Es gibt dreimal die gleiche und einmal eine andere Zahl.

Da die Reihenfolge egal ist, gibt es hier sechs Möglichkeiten.

Die eine Zahl kann eine von drei sein, die drei gleichen Zahlen jeweils eine von den beiden anderen:

1-2-2-2; 1-3-3-3; 2-1-1-1; 2-3-3-3; 3-1-1-1; 3-2-2-2

Es kann sich auch um je zweimal die gleiche Zahl handeln:

1-1-2-2; 1-1-3-3; 2-2-3-3

Das sind drei Arten.

Dann kann es sich noch um drei unterschiedliche Zahlen handeln, wobei jeweils eine doppelt auftaucht:

1-1-2-3; 1-2-2-3; 1-2-3-3

Auch wieder drei.

Zusammen sind das 3+6+3+3=15 Möglichkeiten, die unterscheidbar sind, wenn man die Reihenfolge nicht berücksichtigt.

Wenn es bei der Aufgabe auch nur darum geht, welcher Angestellte wie viele Anrufe tätigt, ist 15 also die korrekte Antwort.

Herzliche Grüße,

Willy

> als würdest Du 4 Bonbons an 3 Kinder verteilen

Eben. 4 ununterscheidbare Angestellte an 3 unterscheidbare Telefonate. Lässt man die vorgegebene Lösung außer acht, ist das die unwahrscheinlichste Interpretation der unklaren Aufgabe.

> welcher Angestellte wie viele Anrufe tätigt, ist 15 also die korrekte Antwort.

Nö - denn jetzt hast Du ja unterscheidbare Angestellte und ununterscheidbare Telefonate. Macht 20 Möglichkeiten.

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@TomRichter

Nein: 4 Telefonate (ununterscheidbar), 3 Angestellte (unterscheidbar).

k=4 Telefonate an n=3 Angestellte ist wie k=4 Bonbons an n=3 Kinder.

Also [(n+k-1) über k]

Willy

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@Willy1729

Korrekt, wenn Du Dich auf das Bild beziehst.

Die Überschrift lautet umgekehrt: "... vier Angestellte drei Telefonate.."

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> Wie kommt man zu diesem Ergebnis?

Indem man Dinge voraussetzt, die in der Aufgabe nicht genannt sind und die dem gesunden Menschenverstand widersprechen. Im konkreten Fall: Indem man so tut, als seien die drei Telefonate unterscheidbar, die Angestellten jedoch ununterscheidbar.

Also: Wie viele Möglichkeiten gibt es, vier ununterscheidbare Kugeln auf drei unterscheidbare Telefone zu verteilen.

Wie man dies rechnet, hat Willy1729 gezeigt.

Realistischerweise sind aber die Angestellten unterscheidbar - üblicherweise aber auch die Telefonate.
drei ununterscheidbare Kugeln auf vier unterscheidbare Angestellte ergibt dann schon 20 Möglichkeiten.

Drei unterscheidbare Telefonate auf 4 unterscheidbare Angestellte - unter der IMO am ehesten der Realität entsprechenden Annahme, dass jeder Angestellte genau ein Telefonat führt (bis auf einen, der keins führt), ergibt 24 Möglichkeiten.

Es gibt noch mehr Unwägbarkeiten: Der Angestellte, für den kein eigenes Telefonat abfällt, könnte bei einem anderen mithören. Oder...

Zusammengefasst: Eine der Aufgaben, die man dem Aufgabenersteller gar nicht so oft um die Ohren schlagen kann, wie es nötig wäre. Es fehlen Angaben, ob Angestellte und/oder Telefonate unterscheidbar sind, ob ein Angestellter mehrere Telefonate oder mehrere Angestellte dasselbe Telefonat führen können.

Nur unter der weltfremdesten aller möglichen Annahmen ergibt sich 15 als Lösung.

Ununterscheidbar sind die Telefonate, nicht die Angestellten.

15 ist die Antwort auf die Frage, auf wie viele Arten sich vier Telefonate (nicht unterscheidbar) auf drei Angestellte (unterscheidbar) verteilen können, wie viele Telefonate also jeder Angestellte jeweils führt (eine Zahl von 0 bis 4).

Da es nur auf die Anzahl der Telefonate ankommt, nicht aber darum, ob es sich jeweils um Anruf Nummer 1, 2, 3 oder 4 handelt, landen wir beim Modell Ziehen mit Zurücklegen ohne Beachtung der Reihenfolge und der Formel [(n+k-1) über k].

Allerdings ist hier stillschweigend vorausgesetzt, daß es egal ist, welches der vier Telefonate jeder Angestellte führt. Das geht aus der Aufgabenstellung nicht klar hervor; ich habe es aus der angegebenen Lösung geschlossen.

Herzliche Grüße,

Willy

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@Willy1729

Du schreibst von drei Angestellten. Und hast sogar Recht, weil Du Dich auf das Bildchen beziehst.

Die Überschrift der Frage lautet dagegen: "Wie wie viele Möglichkeiten gibt es vier Angestellte ..."

Bescheuert, wenn Aufgabe und Abbildung nicht zusammenpassen :-(

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@TomRichter

Hast recht. Ich hatte nur auf die Originalaufgabe geachtet, nicht auf die Überschrift. Ich wunderte mich schon, wie Du auf die vier Angestellten gekommen bist - jetzt ist mir die Sache klar.

Bei vier Angestellten und drei Telefonaten ist k=3 und n=4, man kommt auf 6 über 3 gleich 4*5=20.

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Falsch. Man kann die Angestellten in 15 unterschiedlichen Zusammenstellungen (4 mal einzeln, 6 Zweier-, 4 Dreier-, ein Viererteam) telefonieren lassen. Die Anrufe kann man in 7 unterschiedlichen Varianten (3 mal einzeln, 3 mal paarweise, einmal alle zusammen) schalten. Dies ergibt 105 Möglichkeiten.

Ich denke, die Formulierung "drei Telefonate" schließt den Fall aus, dass man alle drei Anzurufenden zu einer Konferenzschaltung zusammenfasst.

Andererseits sind im täglichen Leben nicht nur Angestellte, sondern auch Anzurufende unterscheidbar, so dass wir trotzdem auf mehr als 105 Kombinationen kommen.

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