Frage zu Kombinatorik?
Hallo zusammen,
ich habe aktuell etwas zu viel Zeit und beschäftige mich nochmal mit Schulmathematik. Aktuell bin ich beim Thema Stochastik, genauer gesagt der Kombinatorik. Prinzipiell sind mir die Begriffe und Rechenwege der Permutation, Variation und Kombination klar. Ein selbst gestelltes Beispiel kann ich jedoch mit keinem der vorgeschlagenen Rechenwege lösen.
Aufgabenstellung:
Man stelle sich folgende Ziffernsammlung vor: 1, 1, 3
Frage:
Wieviel zweistellige Zahlen lassen sich mit dieser Sammlung erstellen?
Klar, die Lösung lässt sich durch Nachdenken schnell finden. {11, 13, 31} sind die zutreffenden Ereignisse, es gibt ergo 3 Lösungen.
Meine Frage gilt dem Rechenweg. Es handelt sich nicht um eine Permutation, da k<n ist und somit eine Stichprobe vorliegt (ich ziehe 2 aus 3 Ziffern). Da die Reihenfolge wichtig ist (13 ist eine andere Zahl als 31), sind wir bei einer Variation. Jetzt ist noch die Frage zu beantworten, ob sich Elemente wiederholen oder nicht. In diesem Fall wiederholt sich die eins. Die drei wiederum wiederholt sich nicht.
Die allgemeine Formel für Variation mit Wiederholung ist: n^k --> 3^2 = 9
Die allgemeine Formel für Variation ohne Wiederholung ist: n!/(n-k)! --> 3!/(3-2)! = 6
Stimmt beides nicht.
Kann mir jemand meinen Denkfehler zeigen? Wie komme ich rechnerisch auf das richtige Ergebnis?
Grüße und Danke
Felix
2 Antworten
Jetzt ist noch die Frage zu beantworten, ob sich Elemente wiederholen oder nicht. In diesem Fall wiederholt sich die eins. Die drei wiederum wiederholt sich nicht.
Mit Wiederholung bedeutet, dass die Elemente mehrfach ausgewählt werden können, nicht, dass mehrere gleiche Elemente vorkommen. Das ist ein Unterschied.
Dementsprechend musst du die Formel so anpassen, dass du jene Elemente rausfilterst, die du nicht dabei haben willst.
Du nimmst also die allgemeine Formel für Variation ohne Wiederholung (Weil du jeweils eine Zahl aus der Ziffersammlung herausnimmst und bei der zweiten Auswahl eines weniger im Topf hast) und ziehst dann die unerwünschten ab.
Das kannst du entweder so machen, indem du sagst, dass die Reihenfolge egal ist (Und du somit alle doppelten verlierst, das ist dann eine Kombination ohne Wiederholung) oder du wendest deine Formel an und ziehst die doppelten ab (Genau 1/2 von deiner ursprünglichen Formel)
Naja, meine Antwort bezog sich eher auf das konkrete Beispiel, wo es offensichtlich war, dass wir genau doppelt so viele Elemente haben. Bei deinem zweiten Beispiel ist das dann nicht mehr der Fall.
Dass wir uns bei der Variation ohne Wiederholung bewegen, ist für mich nachvollziehbar.
Das schon, aber die Variation ohne Wiederholung funktioniert üblicherweise mit unterscheidbaren Objekten. Das kann man hier eher nicht anwenden, darum bekommst du auch falsche Ergebnisse raus.
Ich habe schon länger nichts mehr mit Kombinatorik am Hut gehabt, deshalb bin ich mir nicht 100%tig sicher, ob es einen anderen, allgemeinen Lösungsweg für das Problem gibt, aber eine (allgemeine?) Lösung wüsste ich.
Sieh dir mal die Permutation mit Wiederholung an.
Dort ist es tatsächlich so, dass wir es mit Permutationen von identischen Elementen zu tun haben (Anders als bei Variation & Kombination mit Wiederholung, wo wir aus unterschiedlichen Objekten mehrfach auswählen können).
Die Formel lautet entsprechend...
Anzahl = n!/(k_1!*k_2!*...*k_m!)
wobei k_1,...,k_m die Anzahl an mehrfach vorkommenden Elementen von insgesamt m unterscheidbaren Elementen ist.
Die Menge {1,1,3} wäre dann z.B. {(1,1,3), (1,3,1), (3,1,1)}
Oder mit der Formel ausgedrückt: 3!/(2!*1!) = 3
Meine Idee wäre jetzt, deine 5-elementige Grundmenge als 3-elementige unterscheidbare Teilmengen zu betrachten.
Heißt: {1,1,1,3,3} => {1,1,1} und {1,1,3} und {1,3,3}
(Reihenfolge ist egal, man kann anstatt {1,1,3} genauso {1,3,1} betrachten)
Für {1,1,1} => {(1,1,1)} mit Formel 3!/3! = 1
Für {1,1,3} => {(1,1,3), (1,3,1), (3,1,1)} mit Formel 3!/(2!*1!) = 3
Für {1,3,3} => {(1,3,3), (3,1,3), (3,3,1)} mit Formel 3!/(1!*2!) = 3
Zusammenaddiert: 1+3+3 = 7
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Sollte eigentlich allgemein so funktionieren. Anderes Beispiel: {1,1,2,2,2,2} in 4-elementige Teilmengen => {1,1,2,2}, {1,2,2,2}, {2,2,2,2}
Mit der Formel würde 4!/(2!*2!) + 4!/(1!*3!) + 4!/4! = 11
und genau das ist der Fall.
{(1,1,2,2), (1,2,1,2), (1,2,2,1), (2,1,1,2), (2,1,2,1), (2,2,1,1), (1,2,2,2), (2,1,2,2), (2,2,1,2), (2,2,2,1), (2,2,2,2)}
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Wenn du mehr als 2 unterscheidbare Elemente hast, dass musst du deine Teilmengen auch dementsprechend wählen, denn man braucht alle unterscheidbaren Teilmengen.
Z.b. {1,1,2,3} in 3-elementige Teilmengen => {1,1,2} und {1,2,3} und {1,1,3}
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Aber wie gesagt: Das ist jetzt nur so eine Idee von mir. Vielleicht geht's besser/schneller. Auf die Schnelle konnte ich im Internet auch nichts dazu finden, ist halt schon auf etwas "höherem Niveau", wo man nicht mehr blind in die 6 bekannten Formeln einsetzen kann.
Super, das reicht mir!
Dass es dafür keine allgemeine Formel gibt, dachte ich mir schon. Mir war ein Lösungsweg wichtig, um es logisch nachvollziehen zu können. Permutation mit Wdh. kenne ich und das ist auch die Lösung (zumindest ist diese für mich ausreichend). Die Herleitung ist nachvollziehbar und universell anwendbar, sofern die Grundmenge übersichtlich ist. Nachvollziehbar ist es aber definitiv.
Danke! Du hast mich nach 24h Gegrübel nun erleichtert ;)
Felix
Dein Denkfehler ist folgender: Du willst es unbedingt auf diese beiden Modelle zurückführen. Diese gehen aber von unterschiedlichen Elementarereignissen aus. Also n verschieden Kugeln und man zieht k davon.
Bei dir sind aber 2 Kugeln nicht unterscheidbar und du unterscheidet bei 11 oder 13 nicht zwischen den beiden Einsen. In Wahrscheinlichkeiten übersetzt bedeutet deine Vorgehensweise, dass das Ziehen einer 1 eine größere Wkt hat als das der 3.
Wenn du unbedingt eine deiner beiden Modelle anwenden willst, dann musst du die beiden Einsen markieren oder einfärben. 11 läßt sich erreichen durch rote1 dann blaue1 oder blaue1 dann rote1. 13 wird realisiert durch rote1 und 3 oder blaue1 und 3.
Wenn du das durchzählst kommst du auf Variationen ohne Zurücklegen.
Hi, danke für deine Antwort. Die Idee mit dem z.B. Einfärben hatte ich auch schon. Allerdings möchte ich ja gerade den Rechenweg für zwei identische Elementarereignisse (die beiden 1er) und ein einzelnes Elementarereignis haben. Quasi den Rechenweg zu dem Ergebnis 3.
Grüße
Hi,
danke für die Antwort. Ganz klar ist es mir noch nicht. Den Punkt mit der Wiederholung habe ich jetzt verstanden (mit Zurücklegen = mit Wiederholung). Ich habe mein obiges Beispiel etwas erweitert. Die Ziffernsammlung lautet nun: 1, 1, 1, 3, 3
Diesmal sind dreistellige Zahlen gesucht: {111, 113, 131, 311, 133, 313, 331}
Müssten alle sein.... Gesucht ist also eine Formel, deren Ergebnis 7 ist.
Dass wir uns bei der Variation ohne Wiederholung bewegen, ist für mich nachvollziehbar.
n!/(n-k)! = 5!/(5-3)! = 5*4*3 = 60
Wären alle fünf Ziffern unterschiedlich, könnte ich 60 verschiedene Zahlen bilden (3-stellige). Dem ist nicht so, also muss ich alle doppelten eliminieren. Mir fällt kein logischer Schritt ein mit dem ich auf ein Ergebnis von 7 komme.
Hast du hier einen Ansatz parat?
Btw. : Ich habe diese Art Aufgabe weder im Internet, noch in sonstigen Büchern gefunden. Immer wenn mehrstellige Zahlen gebildet werden müssen, sind die zu verwendenden Ziffern unterschiedlich. Ich bin mir daher nicht sicher, ob es sich wirklich noch um Schulmathematik handelt. Leider ist das die einzige Wissenslücke die ich bisher bei mir ausmachen konnte und komme hier nicht weiter.
Grüße