Kann mir bitte jmd. erklären wie man diese Kombinatorik-Aufgabe löst?
Hallo,
die Aufgabenstellung lautet
Auf wie viel Arten können sich 4 Gäste auf 6 Stühle setzen, wenn sie nur nach ihrem Geschlecht (2 Männer und 2 Frauen) unterscheidbar voneinander sind?
In der Lösung steht:
also Permutation mit Wahrscheinlichkeit.
Warum ist die 2 jetzt aber zweimal angegeben, es sind doch 4 Gäste und nicht 6?
1 Antwort
Hallo,
Person 1 hat sechs Stühle zur Auswahl, Person 2 fünf, Person 3 vier und Person 4 noch drei, macht 6*5*4*3 Möglichkeiten.
Nun sollen aber zwei Männer und zwei Frauen ununterscheidbar sein, was bedeutet, daß Du dieses Produkt noch durch 2!*2!=4 teilst.
6*5*3=90.
Du kannst es auch anders berechnen:
Es gibt (6 über 4)=6!/(4!*2!)=15 Möglichkeiten, vier Personen auf sechs Stühle zu verteilen. Bei dieser Rechnung wäre aber die Reihenfolge, in der die Personen auf den Stühlen sitzen, unberücksichtigt, dabei kannst Du jede der 15 Vierergruppen, die aus den sechs Stühlen gebildet werden, auf 4!=24 Arten vertauschen.
Wenn aber zwei Paare ununterscheidbar sind, teilst Du diese 4! Permutationen durch die Permutationen der jeweils zwei ununterscheidbaren Personen teilen, also durch 2!*2!.
Allgemein ist das mit den Permutationen so:
Hast Du n unterscheidbare Elemente, gibt es n! Permutationen, also Reihenfolgen, nach denen Du die Elemente sortieren kannst.
Sind von den n Elementen aber k Elemente ununterscheidbar, teilst Du n! durch k!
Gibt es m andere Elemente, die zusätzlich zu den k Elementen ebenfalls ununterscheidbar sind, rechnest Du n!/(k!*m!).
Dieses Schema kannst Du beliebig erweitern.
In wie viele unterschiedliche Reihenfolgen kannst Du die Buchstaben AAABCCDEFFFF bringen?
Antwort: 12 Buchstaben, von denen 3 A, 2 C und 4 F jeweils ununterscheidbar sind;
Du rechnest also 12!/(3!*2!*4!)=1.663.200 Möglichkeiten.
Mit 12 unterschiedlichen Buchstaben wären es sogar 12!=479.001.600 Permutationen.
Herzliche Grüße,
Willy
Vielen Dank, das ist jetzt soweit alles klar geworden. Ich habe gerade gesehen, ich habe mich in der Frage verschrieben, ich wollte fragen warum die 2! dreimal notiert ist und nicht zweimal. Also das hier Pw(6;2;2;2). Handelt es sich dabei um einen Tippfehler?