Wie viele Kombinationen sind möglich? Kombinatorik auf hohem Niveau ¿?

Folgendes ist gegeben:

{a, b, c, d} ∈ N (die einzelnen Parameter sollen natürliche Zahlen, inklusive 0 sein)

Es muss folgendes gültig sein:

1. 5a + 4b + 3c + 2d = 110
2. a + b + c + d = 30

Die Frage: Wie viele Kombinationen aus verschiedenen Werten für die Parameter sind möglich?

(7, 11, 7, 5) wäre eine mögliche Kombination

(7, 8, 13, 2) z. B. eine andere

Ansätze wären ebenfalls interessant zu erfahren. Lösungen kann man auch gemeinsam finden.

Zusatzfrage: Was ist der durchschnittliche Wert der einzelnen Parameter a, b, c und d?

Alternative Voraussetzungen bei gleicher Fragestellung:

1. 5a + 4b + 3c + 2d = 77
2. a + b + c + d = 20

ODER

1. 5a + 4b + 3c + 2d = 33
2. a + b + c + d = 10

Unwichtig zur Beantwortung der Frage:

Die Aufgabe habe ich mir selbst "überlegt" und sie ist wohl bisher ungelöst.

Die "Inspiration" war das Prinzip der theoretischen Führerscheinprüfung in Deutschland:

Man muss 20 Grundwissens Fragen (aus einem sehr großen Fragenpool) beantworten, von denen jede 5, 4, 3 oder 2 Punkte Wert ist. In Summe müssen die 20 Fragen 77 Punkte ergeben.

Für den Führerschein Klasse B gibt es 10 Zusatzfragen, welche in Summe 33 Punkte ergeben müssen.

Zum Bestehen braucht man mind. 100/110 Punkten und darf nur eine 5-Punkte falsch beantwortet haben.

Insgesamt gibt es ca 1200 Fragen, aber keine Statistiken darüber welcher Anteil von Fragen welche Punktzahl wert ist.

Nur weil es in meiner Theorie-Lern-App einen Modus mit nur, bzw. allen 5-Punkte Fragen gibt, weiß ich, dass es davon insgesamt 139 gibt. Das ist ein Anteil von knapp 12%. (Stand: 08.02.24)

Answer 1

[eterneladam]

Schöne Frage zu einem sog. Diophantischen Gleichungssystem. Es ist meist schwierig, ganzzahlige Lösungen von Gleichungen zu finden.

Im vorliegenden Fall hat man 2 Gleichungen für 4 Unbekannte, so dass man nach Wahl z.B. von a >= 0 und b >= 0 die beiden anderen bestimmen kann,

c = -3 a - 2 b + 50, d = 2 a + b - 20

Diese sind bei ganzzahliger Wahl von a und b ebenfalls ganzzahlig, allerdings möglicherweise negativ. Man muss daher a und b noch einschränken und dann die Lösungen "von Hand" suchen.

Z.B. aus c = -3 a - 2 b + 50 >= 0 hat man 50 >= 3 a + 2 b und a < 50/3, b < 25.