Wie soll das gehen? Bin mega verzweifelt
Tom(m=60kg) fährt mit einem Schlitten einen 30m hohen Hügel hinunter. Ermittle seine Höchstgeschwindigkeit. Die Reibung kann vernachlässigt werden.
5 Antworten
Energieerhaltungssatz : Energie wird nicht erzeugt,sondern ist vorhanden und geht nicht verloren.
hier Ekin=Epot hier wird die "potentielle Energie" (Lageenergie) in "kinetische Energie (Bewegungsenergie) umgewandelt
Ekin=1/2*m*V² und Epot=m*g*h gleichgesetzt
1/2*m*V²=m*g*h ergibt V²/2=g*h ergibt V=Wurzel(2*g*h)
V=Wurzel(2*9,81 m/s²*30 m)=24,26 m/s=87,34 km/h
Einheitenkontrolle Wurzel(m/s²*m)=Wurzel(m²/s²)=m/s
Die Einheit der Geschwindigkeit ist m/s (Meter pro Sekunde)
Würde bei der Einheitenkontrolle nicht m/s herauskommen,so würde die Formel nicht stimmem.
Man kann mit der "Einheitenkontrolle" die Formel überprüfen,ob diese überhaupt stimmen kann.
Genau! Habe ich nur gemacht,weil die Entfernungen zwischen 2 Orten in km angegeben sind und auch die Geschwindigkeit innnerhalb von Ortschaften mit 50 km/h und nicht mit 13,5..m/s angegeben ist.
Dafür brauchst du den energieerhaltungssatz Eges=Epot+Ekin! Auf dem hügel ist die kinetische energie minimal und die potentielle ist maximal, dh Eges=Epot, die berechnung erfolgt mit der formel Epot=m*g*h! Unten auf dem hügel ist die potentielle energie minimal und die kinetische energie ist maximal, damit ist Eges=Ekin, mit der formel Ekin=0,5*m*v^2. Die geschwindigkeit ist dann maximal, wenn die potentielle energie maximal ist, zum berechnen der aufgabe, rechnest du mit der formel für die potentielle energie die gesamtenergie aus, wenn tom auf dem hügel hockt, dann setzt du die gesamtenergie in die formel für die.kinetische energie ein und löst nach v auf! Lg
Ein wichtiger Hinweis ist die Aufforderung, Reibung zu vernachlässigen. Nur Reibung nämlich entzieht Tom Energie, indem sie diese zu Wärme macht, die dann abgestrahlt wird.
Ohne Reibung gilt der Energieerhaltungssatz
(1.1) E = E[pot] + E[kin] = const.,
also
(1.2) ΔE[pot] + ΔE[kin] = 0.
Es kommt also nicht auf die potentielle Energie selbst, sondern auf die Differenz
(2.1) E[pot](Umgebung) – E[pot](Hügel) =: ΔE[pot] < 0
an. Das Gravitationsfeld ist ein konservatives Kraftfeld, d.h.,
(2.2) (ΔE[pot] = –W[hub](h) = –mgh,
wobei W[hub](h) die Arbeit ist, die man verrichten muss, um einen Körper der Masse m die Höhe h heraufzuschaffen.
Horizontale Strecken zählen dabei nicht, da das Gravitationsfeld |g› nur vertikal wirkt und für die Arbeit nur die zur Kraft m|g› parallele bzw. antiparallele Wegstrecke relevant ist. Es mag im Alltag anstrengend sein und offensichtlich Energie kosten, etwas eine waagerechte Strecke zu ziehen, aber diese Energie wird gleichsam verheizt und trägt nicht zur Arbeit bei.
Bei der kinetischen Energie ist hier (im Newton - Limes, von dem wir im Alltag immer ausgehen können)
(3.1) ΔE[kin] = ½m(v[Umgebung] – v[Hügel])²,
und wenn wir annehmen - was wir können - dass v[Hügel] = 0 ist, können wir v[Umgebung] =: v setzen, was die Höchstgeschwindigkeit ist (respektive deren Betrag, denn die Geschwindigkeit |v› ist eine Größe mit Richtung), und wir kommen auf
(3.2) ΔE[kin] = E[kin](Umgebung) = ½mv².
Übrigens ist Toms Masse m, obgleich in der Aufgabe eigens angegeben, völlig unerheblich, weil beide Energien zu m proportional sind und m sich daher herauskürzt. Daher lässt sich (1.2) auch als
(4.1) –gh + ½v² = 0
schreiben, was sich über
(4.2) ½v² = gh
zu
(4.3) v² = 2gh
umformen lässt. Die Quadratwurzel daraus liefert dann den Betrag v der Höchstgeschwindigkeit.
- Wie viel potentielle Energie hat er?
- Welche Geschwindigkeit hat er, wenn diese vollständig in kinetische Energie umgewandelt wird?
(Diese Rechnung geht davon aus, dass er sich zunächst auf dem Hügel in Ruhe befand.)
Das waren ja auch Fragen an Dich.
Wie man die potentielle Energie / Lageenergie eines Körpers im homogenen Schwerefeld ermittelt, weißt Du?
Definition der kinetischen Energie (in der klassischen Mechanik) kennst Du?
Dann beides gleichsetzen und zur gesuchten Größe (Geschwindigkeit) umstellen.
Ka. Wie man die Lageenergie eines Körpers ermittelt
Potentielle Energie (im homogenen Schwerefeld): E = m * g * h
E = (potentielle) Energie
m = Masse des Körpers (also hier 60 kg)
g = Gravitationsfeldstärke / Ortsfaktor / Erdbeschleunigung (ca. 9.81 m/s²)
h = Höhe (also hier 30 m)
Kinetische Energie: E = (1 / 2) * m * v²
E = (kinetische) Energie
m = Masse des Körpers (also hier 60 kg)
v = Geschwindigkeit des Körpers
Die beiden Ausdrücke gleichsetzen und nach der Geschwindigkeit v auflösen solltest Du nun aber wirklich selbst können. ;-)
Die Lageenergie ist genau so definiert, was sonst sollte h sein, wenn nicht die Differenz zwischen dem höchsten und dem tiefsten Punkt?
Etwa der Abstand vom Schwerpunkt der Erde? Die Formel gilt nur im homogenen Gravitationsfeld, also nur "in Oberflächennähe". Solange Du Dich aber dort befindest, ist das exakte "Nullniveau" beliebig.
"Fährt einen 30 Meter hohen Hügel herunter" bedeutet also: h = 30 m - Und zwar unabhängig davon, ob dieser Hügel sich auf Meeresniveau befindet oder auf der Zugspitze.
Formeln die du brauchst:
v = a * t
X = 1/2 * a * t² umwandeln in
t = Wurzel ( X * 2 / a )
v = a * Wurzel ( X * 2 / a ) = 9,81 * Wurzel (60 * 2/9,81) = 34 m/s = 123 km/h
Oh. Ich übersah, dass der Weg 30 m ist. Hatte irgendwie 60 m im Kopf. Dann halt so:
v = a * t
X = 1/2 * a * t² umwandeln in
t = Wurzel ( X * 2 / a )
v = a * Wurzel ( X * 2 / a ) = 9,81 * Wurzel (30 * 2/9,81) = 24 m/s = 86 km/h
Du sagtest ja, dass die Reibung vernachlässigt werden soll, dann spielt es keine Rolle, wie schwer Tom ist.
Der Betrag der Beschleunigung ist a < g, weil Tom eine schiefe Ebene herunterrutscht und nicht frei fällt.
Dementsprechend dauert es länger, bis er die Maximalgeschwindigkeit erreicht, die allerdings dieselbe ist. Schließlich ist Reibung zu vernachlässigen und somit die Höhe allein entscheidend.
Gute Antwort!
Nur ein Hinweis ...
Im wissenschaftlichen Umfeld rechnet kein Mensch mit km/h. Diese Einheit ist eigentlich nur für Geschwindigkeitsbegrenzungen relevant und deshalb auch auf Tachometern zu finden. Wahrscheinlich hat das irgendwie historische Gründe. Ansonsten gibt es meines Wissens nach keinen Grund, Geschwindigkeiten in dieser Einheit auszudrücken.
Zum "Einordnen" der Geschwindigkeit ist es natürlich gut, weil wir mit Angaben in km/h vertraut sind - was letztlich aber widerum nur daran liegt, dass Tachometer in der Regel darin messen. ;-)