Wie Nullstellen für f(x)=x⁴-x² berechnen?

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8 Antworten

pq-Formel und ABC-Formel sind nur bei quadratischen Gleichungen anwendbar.
Hier geht's viel einfacher :-)

0 = x²(x²-1)
Ein Produkt ist 0, wenn entweder der eine Faktor oder der andere Faktor 0 ist.
Entweder x²=0 oder (x²-1)=0
=> x=0 und x=±1 sind die Nullstellen :-)
Insgesamt gibt's 4 Nullstellen, x=0 ist eine doppelte Nullstelle.

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f(x)=x^4-x²=x²(x²-1)=x²(x+1)(x-1)

Nullstellen: x=0 (doppelt), x=1 und x=-1

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Die p,q- wie auch die abc-Formel wären durchaus anwendbar, doch sie sind etwas sperrig für diese simple Gleichung.

Für p,q z.B.

x⁴ - x²  = 0     | Substitution: x² = z           für spätere Resubstitution: x = ±√z
z² - z   = 0          p = -1     q = 0

z₁,₂      = 0,5 ±√(0,25 - 0)
z₁,₂      = 0,5 ± 0,5

z₁        = 1          Resubstitution:     x₁₁ = 1          x₁₂ = -1 
z₂        = 0                                     x₂  = 0    (zusammenfallend)

IL = { -1; 0 ; 1 }


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Kommentar von sebastianla
10.02.2017, 07:02

Substitution ist aber noch etwas umständlicher für diese simple Gleichung

0

f(x) = x ^ 4 - x ^ 2

Du kannst x ^ 2 ausklammern -->

x ^ 2 * (x ^ 2 - 1) = 0

Wenn du einen Ausdruck x ^ n mit ganzzahligem n (hier ist n = 2) ausklammern kannst, dann hast du schon mal n Nullstellen gefunden, die alle den Wert Null haben !

Also -->

x _ 1 = 0

x _ 2 = 0

Nun untersuchst du noch den Rest auf Nullstellen -->

x ^ 2 -1 = 0 | + 1

x ^ 2 = 1 | √(...)

x _ 3 = - √(1) = -1

x _ 4 = +√(1) = +1

Zusammenfassung -->

x _ 1 = 0

x _ 2 = 0

x _ 3 = -1

x _ 4 = +1

Wenn man möchte, dann kann man das jetzt auch noch mal umsortieren -->

x _ 1 = -1

x _ 2 = 0

x _ 3 = 0

x _4 = +1

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Gleich null setzten
dann klammerst du ein x aus

0=x(x^3-x) --> Satz vom Nullprodukt --> x1=0 UND:

0=x^3-x --> du klammerst noch ein x aus

0=x(x^2-1) --> x2=0 (Doppelte nullstelle) UND:

0=x^2-1 --> +1

1=x^2 --> Wurzel --> x3=1

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Kommentar von Mopitan
10.02.2017, 01:05

Da hier nur Glieder mit x sind und keine absoluten (also einzelne Zahlen) kannst du super x ausklammern

der Satz vom Nullprodukt sagt nur, dass wenn bei einer Mutliplkation 0 rauskommt muss eins der Edukte 0 sein (Hier das X oder die Klammer) also sind mögliche Lösungen (und damit Nullstellen), dass beides Null ist. Also ist ein X jeweils null (s.o.) und der Term in der Klammer den du dann wieder null setzt und weiter rechnest (s.o.)

0
Kommentar von Ahzmandius
10.02.2017, 01:19

x3=+-1, wird oft vergessen.

1

Was die anderen sagen stimmt.
Wenn du es dir extra schwer machen willst oder es einfach auf eine andere Art lösen willst, dann kannst auch die Substitution u=x^2 benutzen.

Ergibt f(u)=u^2-u
Nullstelle bestimmen:
0=u^2-u=u*(u-1)
->u1=0 oder u2=1

Wegen u=x^2 folgt weiter
u1=0=x^2
-> x1=0

u2=1=x^2
-> x2=1 x=-1

u musstt halt nur beim Wurzelziehen dran denken dass es ne positive und nee negative Lösung gibt (ausser bei 0 denn da ist +0 und -0 dasselbe)

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x*x(x²-1)

Hat 3 Nullstellen, eine davon doppelt:

x1 = 0

x2 = 0

x3 = 1

x4 = -1

 

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Kommentar von Aweza94
10.02.2017, 11:24

Hat 4 Nullstellen*

0

Klammer x² aus.

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