Wie löst man diesen Term (Logarithmus)?
Hallo,
ich komme bei der letzten Aufgabe bei den Hausaufgaben nicht weiter.
Kann mir bitte jemand erklären wie man hier anfängt, bin verwirrt :')
LG
-⅓ lg ( x^2 * y^-2 * z ) + ⅓ lg ( x^-1 * y * z )
Da ist keine Gleichung zu sehen. Oder siehst du da bei dir ein Gleichheitszeichen oder Ähnliches?
Da ist ein Term. Was soll mit diesem Term gemacht werden?
Ohja sorry... Ich mein halt wie man den Term ausrechnet
2 Antworten
Hier geht es wohl darum, die Logarithmusgesetze anzuwenden.
Der Logarithmus eines Produktes ist dasselbe wie Summe der Logarithmen der Faktoren. Exponenten werden zu Faktoren vor diesen Logarithmen.
Z.B. gilt lg(x⋅y) = lg(x) + lg(x) und lg(x³) = 3 lg(x)
Mit diesen zwei Regeln kannst du den Term ziemlich zusammendampfen.
Zur Kontrolle: Die Lösung ist lg(y/x).
Ich mach mal ein Beispiel. Wenn es dann immer noch nicht klappt, können wir auflösen, aber es wäre natürlich besser, wenn du es rauskriegst. (Dann könntest du auch stolz auf dich sein! 😉)
mihisu hat die Lösung oben ja jetzt schon geschrieben xD
Aber ich danke dir trotzdem für deine Unterstützung ^^
Das, was ich mir gedacht habe, war so etwas hier:
-5 lg (a⁴⋅b⁻²) = -5 [lg(a⁴) + lg(b⁻²)] = -5 [4⋅lg(a) - 2⋅lg(b)]
Jetzt kannst du den Faktor auf die Logarithmusterme anwenden:
-5 [4⋅lg(a) - 2⋅lg(b)] = -20 lg(a) + 10 lg(b)
Das habe ich mit erstmal ignorieren gemeint.
Die Sache ist, man kann das auf unterschiedliche Arten ausrechnen.
Denn das, was du vorgeschlagen hast, war gar keine schlechte Idee.
Nur wenn du die Summe der beiden Logarithmen zu einem Produkt zusammenziehst (also quasi das Gegenteil von dem Weg, den ich zuerst gegangen bin), dann darfst du die Faktoren absolut nicht ignorieren!
Denn dann müssen die erstmal als Exponenten auf alle Faktoren innerhalb des Logarithmusterms angewandt werden.
Oder du kannst sie auch als Kubikwurzeln interpretieren.
Dann könnte man die Aufgabe z.B. so lösen:
-⅓ lg(x²⋅y⁻²⋅z) + ⅓ lg(x⁻¹⋅y⋅z) =
lg(1/∛(x²⋅y⁻²⋅z)) + lg(∛(x⁻¹⋅y⋅z))
Jetzt kann du die Summe der Logarithmen in einen Logarithmus des Produkts umformen:
lg(1/∛(x²⋅y⁻²⋅z)) + lg(∛(x⁻¹⋅y⋅z)) =
lg(∛[(x⁻¹⋅y⋅z)/(x²⋅y⁻²⋅z)]) =
lg(∛(x⁻³⋅y⁺³⋅z⁰))
Jetzt kann du die dritte Wurzel nehmen:
lg(∛(x⁻³⋅y⁺³⋅z⁰)) =
lg(x⁻¹⋅y⁺¹) = lg(y/x)
Ich sollte noch dazu sagen, dass ich die negativen Exponenten einfach so gelassen habe, und sie erst ganz am Ende "aufgelöst" habe, wie du gesehen hast. Kann gut sein, dass dein Lehrer darauf bestehen würde, dass man statt (x⁻¹⋅y⋅z)/(x²⋅y⁻²⋅z) lieber (1/x ⋅ y ⋅ z)/(x² ⋅ 1/y² ⋅ z) schreiben sollte, dass dann zu (y³/x³) würde.
Da die Aufgabe jetzt ja ohnehin schon gegessen ist, kann ich dir ja noch den Lösungsweg posten, den ich zuerst gegangen bin.
Ich hätte es zwar besser gefunden, wenn du das selber gerechnet hättest, weil das dir übungsmäßig halt mehr gebracht hätte, aber was soll's:
-⅓ lg(x²⋅y⁻²⋅z) + ⅓ lg(x⁻¹⋅y⋅z) =
-⅓ [2 lg(x) - 2 lg(y) + lg(z)] + ⅓ [- lg(x) + lg(y) + lg(z)] =
-⅔ lg(x) + ⅔ lg(y) - ⅓ lg(z) - ⅓ lg(x) + ⅓ lg(y) + ⅓ lg(z) =
-lg(x) + lg(y)
Wie du siehst, hat man es hier, nachdem man die Produkte umgeformt hat, nur noch mit einer simplen Strichrechnung zu tun, während man in dem anderen Fall mit einer Mehrfachbruch und Wurzeln bzw. Exponenten zu tun hat.
Ist beides richtig und ist beides eigentlich nicht besonders schwer.
Auf dem Papier gefällt mir persönlich sogar der Weg mit der Punktrechnung besser, nur lässt sich dieser in getippter Textform nicht so schön darstellen. (Zumindest nicht hier unten in den Kommentaren. In der Antwortmaske gibt es ja die Formelfunktion, wo man auch Exponenten, Wurzeln und Brüche schön darstellen kann, wie es mihisu gemacht hat.)
Ja stimmt, ist eigentlich gar nicht so schwer... Jetzt macht alles Sinn.
Auf Papier fällt's mir übrigens auch leichter :D
Danke sehr für deine Hilfe!
Super, freut mich, dass du das gut verstanden hast.
Ich muss mir die Aufgabe mal aufschreiben, die ist echt interessant, weil sie einerseits gar nicht so schwer ist, aber mehrere Regeln braucht, um sie ausrechnen zu können. Das kann ich vllt. mal in einer Nachhilfestunde zur Anwendung bringen.
Außerdem ist es interessant, wie man unterschiedliche Lösungswege benutzen kann.
Wünsch dir noch ein schönes Wochenende!
Danke, ja das weiß ich schon. Aber wie soll ich da losrechnen? Das geht ja auch nur wenn die beiden Zahlen vor dem Logarithmus gleich sind. Hier sind es ja -⅓ und ⅓. Wie soll ich das dann machen?
Die Faktoren vor den Logarithmen kannst du erstmal ignorieren. Fang jeweils mit dem Produkt innerhalb des Logarithmus an.
Ich schreibe unter dem anderen Kommentar weiter, damit es nicht zu durcheinander wird.
OK. Also keine Gleichung, sondern ein Term. Und mit „ausrechnen“ meinst du vermutlich „so weit wie möglich vereinfachen“.
Zunächst einmal kann man da -1/3 ausklammern, dann die Rechenregel...
... verwenden, um die Differenz zu einem Logarithmus zusammenzufassen. Dann kann man im Logarithmus beim Bruch etwas kürzen bzw. mit Rechenregeln für Potenzen die Potenzen etwas zusammenfassen. Gegen Ende der Rechnung kann dann noch die Rechenregel...
... verwenden.
Die Rechnung kann dementsprechend also beispielsweise so aussehen:
Kannst du mir das bitte vorrechnen? Soll nicht so wirken, als solltest du meine Hausis machen, aber vielleicht würde ich es dann verstehen :)