Wie löse ich diese Textaufgabe (Mathematik)?

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7 Antworten

Eine ganzrationale Funktion dritten Grades hat die folgende Form:

f(x) = ax³ + bx² + cx + d

Außerdem: g(x) = x² + x

Bilden wir die Ableitungen im Voraus:

f'(x) = 3ax² + 2bx + c

f''(x) = 6ax + 2b

g'(x) = 2x + 1

Formen wir die Informationen zu mathematischen Gleichungen um:

"Der Graph hat den Wendepunkt W(0|1)"

Wenn der Graph bei (0 | 1) einen Wendepunkt besitzt, muss dieser Punkt logischerweise auf dem Graphen liegen.

Daher gilt: f(0) = 1

Außerdem heißt Wendepunkt, dass die zweite Ableitung null ist.

Also: f''(0) = 0 ⇔ 2b = 0 ⇔ b = 0

"und berührt die Parabel mit der Gleichung y=x²+x im Scheitelpunkt."

Der Graph berührt einen anderen Graphen. Daraus folgt einerseits, dass der Berührpunkt auf beiden Graphen liegt  und andererseits, dass die Graphen im Berührpunkt dieselbe Steigung haben.

Mathematisch:

Scheitelpunkt liegt bei (-0,5 | -0,25)

Also: f(-0,5) = -0,25

Und: f'(-0,5) = g'(-0,5)

Somit haben wir folgende Informationen:

f(0) = 1

f(-0,5) = -0,25

f'(-0,5) = g'(-0,5)

Umschreiben durch Einsetzen:

f(0) = 1 ergibt:

d = 1

——

f(-0,5) = -0,25 ergibt:

-0,25 = a*(-0,5)³ + b*(-0,5)² + c*(-0,5) + d

-0,25 = -0,125a + 0,25b - 0,5c + d

-0,25 = -0,125a + 0,25b - 0,5c + 1

0 = -0,125a + 0,25b - 0,5c + 1,25

——

f'(-0,5) = g'(-0,5) ergibt:

3a*(-0,5)² + 2b*(-0,5) + c = 2*(-0,5) + 1

0,75a - b + c = 0

0,75a + c = 0

Dies ergibt ein lineares Gleichungssystem:

I.    0 = -0,125a - 0,5c + 1,25

II.   0,75a + c = 0

Davon: IL = {(-5 | 3,75)}

Und b = 0 sowie d = 1

Daher gilt zusammengefasst:

a = -5
b = 0
c = 3,75
d = 1

Und das war's schon:

f(x) = -5x³ + 3,75x + 1

Ich hoffe, ich konnte dir helfen; wenn du noch Fragen hast, kommentiere einfach. 

LG Willibergi 

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Ansatz:

f(x)=ax³+bx²+cx+d

Angaben verwerten:

Wendepunkt bei W(0|1) --> f(0)=1 und f''(x)=0

Anschließend Scheitelpunkt der Parabel ermitteln ; da ein Berührpunkt vorliegt, sind Steigung und Funktionswert der Parabel gleich der Steigung und dem Wert der Funktionsgleichung, du hast also 4 Gleichungen mit 4 Unbekannten.

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Du hast noch eine Angabe:

"berührt" - das bedeutet, die gesuchte Funktion hat im Berührpunkt die gleiche Steigung, wie die Parabel in diesem Punkt!

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Definiere die Funktionen f und g durch

f(x) = ax³+bx²+cx+d,

g(x) = x²+x.

Umformen von g in die Scheitelform mithilfe der 1.binomischen Formel liefert

g(x) = x² + 2 * x * 1/2 + (1/2)² - (1/2)²

= x² + 2 * x * 1/2 + 1/4 - 1/4

= (x+1/2)² - 1/4

Dann ist der Scheitelpunkt von g bei S(-1/2 / -1/4).

f hat Wendepunkt bei W(0/1). Dann ist d = 1.

Die erste und die zweite Ableitung von f sind

f '(x) = 3ax² + 2bx + c,

f ''(x) = 6ax + 2b.

Da W(0/1) Wendepunkt und somit x = 0 Wendestelle ist, folgt b = 0.

Zwischenergebnis:

f(x) = ax³ + cx + 1

Da der Graph von f den Graphen von g in S(-1/2 / -1/4) berührt, muss gelten

f(-1/2) = -1/4 und

f '(-1/2) = g '(-1/2).

Wegen g '(x) = 2x+1 ist g '(-1/2) = 0, also

f '(-1/2) = 0.

Dass g '(-1/2) = 0 gilt, kann man auch damit begründen, dass S(-1/2 / -1/4) Scheitelpunkt der Parabel und folglich Extrempunkt von g ist. Dann muss die Steigung in S notwendigerweise 0 sein.

Die beiden Bedingungen f(-1/2) = -1/4 und f '(-1/2) = 0 müssen nun noch verwendet werden.

Aus f '(-1/2) = 0 ergibt sich wegen f '(x) = 3ax² + c

0 = 3a * (-1/2)² + c,

I: 0 = 3/4 a + c.

Aus f (-1/2) = -1/4 ergibt sich wegen f(x) = ax³ + cx + 1

-1/4 = a * (-1/2)³ + c * (-1/2) + 1,

-5/4 = -1/8 a - 1/2 c,

II: -5/2 = -1/4 a - c.

I + II liefert -5/2 = 1/2 a, also a = -5.

Damit ergibt sich c = 15/4.

f(x) = -5x³ + 15/4 x + 1

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Ich denke, die Angabe von gfntom hat geholfen.

Du hast nur einen kleinen Rechenfehler: die quadratische Parabel hat im Scheitelpunkt den y-Wert -0,25, nicht 0,75.

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Kommentar von FelixAE7
21.08.2016, 22:28

Ich habe die -0,25 in der Formel schon mit d verrechnet, daher die 0,75 :)

0

y=ax³+bx2+cx+d

W(0/1) → d=1

f '' (0)=0 → b=0

S(-1/2 ; -1/4)

f(-1/2) = -1/4 → ...........

2x+1=3ax²+2bx+c → b=0 und x= -1/2 einsetzen

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Ohne groß drüber nach zu denken, kann gut sein dass es nicht stimmt.

Du suchst ja nicht nach einer einzigen Funktion da nur der WP und der SP gegeben sind.

Also würde ich es so umstellen, dass du 0,5c = -0,125a-0,75 sind. Dass nun in die Funktion einsetzten und du hast eine allg. Funktion die den WP(0I1) hat und die Parabel am SP berührt. 

Falls es nicht stimmt: Sry, hab mir des ganze 1 min angeschaut und bin todmüde :D

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