Wie löse ich diese Extremalprobleme?
Und zwar ist ein Karton 40 cm lang und 25 cm breit Es soll eine Schachtel mit Deckel entstehen. Die Frage ist nun wie lang die Kanten der Schachtel seien und zwar mit maximalem Inhalt? Könnt ihr mir helfen? Ich komme einfach nicht weiter -.- Danke für eure Hilfe!
4 Antworten
Zunächst einmal ist eine plausible Lösung nur mit einer quadratischen Säule zu bewerkstelligen, denn nur dann bekommt man eine Oberfläche, bei der man eine Seite zur Funktion der zweiten machen kann. (Bei drei Seiten ist es ohne eine weitere Voraussetzung nicht machbar.)
O = 2a² + 4ab 40 * 25 = 1000 daher
2a² + 4b = 1000 das ist das Material, das wir zur Verfügung haben
b = -a/2 + 250/a ergibt sich daraus für b (Nebenbedingung)
V = a²b ist das Volumen der quadratischen Säule
V = a²(-a/2+ 250/a) Damit habe ich eine ableitbare Funktion
V'(a) = - 3a²/2 + 250 sagt mir Wolfram
- 3a²/2 + 250 = 0 Nullsetzen der 1. Ableitung
a = 10 √(5/3) ist der positive Wert (negativ uninteressant)
b = (10 * √15) / 3 aus der obigen Beziehung
Wenn man das schnibbeln soll, kommt Freude auf.
Volumen V = a²b
V = 2151,71 cm³ sollte dann maximal sein
Das könnte man mit der 2. Ableitung prüfen, ist hier aber ziemlich überflüssig, da der zweite Wert ja negativ war.
Probe:
Stimmt denn die Oberfläche?
a² = 500/3 ab = 500/3
O = 2a² + 4ab = 1000 cm² So war es vorgegeben. Stimmt!
Nun hoffe ich, dass ich von meinem Zettelchen, wo ich die Rechnungen notiert hatte, nichts falsch abgeschrieben habe. (Ohne Wolfram hätte ich auch keine besondere Lust gehabt.)
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Kanten für den Deckel sind nicht extra vorgesehen gewesen. Der Karton geht nur zu klappen.
Das ist sogar der Würfel, den ich ohne weitere einschränkende Bedingungen auch erwartet hatte. Ich bin in der Nacht darauf aber nicht mehr eingegangen.
Denn (10 √(5/3))³ ist auch 2151,71
(b ist nur eine andere Schreibweise der Wurzel)
Deine Frage ist mit nicht klar:
Wenn man sich nur auf die gegebene Ausgangsfläche von 40 * 25 cm² stützt, dann ist ein Würfel die Schachtel mit maximalem Inhalt.
Dessen Kantenlänge a ist dann so dass 6 a² = 40 * 25, also a = 12.9
Möglicherweise musst du aber den Karton in die 6 Seiten der Schachtel zerlegen können wie ein Puzzle, und möglichst den ganzen Karton aufbrauchen?
Aufgrund des Quadernetzes ergeben sich die Nebenbedingungen:
2a + c = 25
2a + 2b = 40
Zielfunktion V = a·b·c
Die muss über die Nebenbedingungen zu einer Funktion nur einer Variablen gemacht werden. Dann Extrema bestimmen.
Ich hab a = 10,39, b = 9,61, c = 4,22 (gerundet)
Bei der Aufgabe ist nicht klar,
- ob die Schachtel nur aus dem Karton entstehen soll, oder ob der Karton nur den Boden der Schachtel bildet.
- ob es erlaubt ist, den Karton zu zerschneiden und wieder zusammen zu setzen, oder ob aus dem Karton als Ganzes eine Schachtel gefaltet werden soll (mit Reststücken).