Wie löse ich diese Aufgabe. Vielen Dank?
= es geht um Gleichungen höheren Grades
3 Antworten
Du kannst die Gleichung auch als x^5 = 16x schreiben. Weil es auf beiden Seiten einen Variabel gibt, und weil beide davon Monomialen sind, werden wir die erste Lösung als x = 0 schreiben. 👍
Sei x ungleich 0, teilen wir die Gleichung durch x und man erhält x^4 = 16.
Und dann bekommt man zwei Würzel, diese sind x = 2 und x = -2 mit einer Vielfachheit von 2.
Deswegen sind die Lösungen x = -2, 0, und 2.
Wenn Exponent = 5. Wir machen eine Fallunterscheidung:
wenn x = 0, dann stimmt die Gleichung, also haben wir eine Lösung.
Sei x ungleich 0, dann dürfen wir durch x teilen und erhalten
Wir ziehen Wurzel und haben x² = 4, weiterhin berücksichtigen wir, da gerade Wurzel, auch das negative Ergebnis mit x² = -4, im reellen nicht lösbar.
x² = 4 lässt wieder Wurzel zu und wir haben x = 2 und x = -2, also die Lösungsmenge im reellen Bereich {-2, 0, 2}, mit komplexen Zahlen noch 2i und -2i mit i als imaginäre Zahl Wurzel von -1.
Wenn Exponent = 3, dann x³ - 16x = 0 = x * (x² - 16) = 0, mit der Lösungsmenge 0, 4 und -4, entsprechend wie oben
Erstmal x ausklammern
x(x² - 16) = 0
Hier hilft im allgemeinen Fall die pq-Formel. Noch hilfreicher ist hier aber die dritte binomische Formel:
x(x - 4)(x + 4) = 0.
Nachtrag:
Ich habe x³ - 16x = 0 gesehen.
Es sollte wohl x^5 - 16x = 0 heißen.
Dann funktioniert es so ähnlich.
x(x^4 - 16) = 0
Substituiere z = x²
x(z² - 16) = 0
x(z - 4)(z + 4) = 0
x(x² - 4)(x² + 4) = 0
x(x - 2)(x + 2)(x² + 4) = 0
x² + 4 kann nucht 0 werden.
Ich hatte einen Fehler, weil ich x^3 statt x^5 gelesen habe.
In der korrigierten Version wird x² - 4 = (x - 2)(x + 2) faktorisiert.
x² + 4 lässt sich nicht faktorisieren, also haben wir insgesamt 3 Nullstellen.
(Die anderen beiden sind konjugiert komplexe Zahlen.)
Wieso aber 4