Wie kommt man auf diese Nullstelle?
Gleichung: z4-4z3-2z2+12z-16=0
eine Nullstelle ist gegeben: i+1, ich weiß, dass man durch Polynomdivision die anderen herausfinden muss. Wenn ich aber i+1 in die Funktion einsetze kommt nicht 0 raus, sondern 6-8i. Ich soll den Nachweis führen, dass 1+i eine Nullstelle ist und danach die anderen Nullstellen herausfinden.
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3 Antworten
Die Behauptung ist, dass
ist.
Schauen wir doch mal:
(1+i)
(1+i)(1+i) = 1 +2i - 1 = 2i
(1+i)(1+i)(1+i)= 2i (1+i) = 2i - 2
(1+i)(1+i)(1+i)(1+i) = (2i)² = -4
Das setzen wir jetzt ein:
(1+i) ist also tatsächlich eine Nullstelle. Du hast dich irgendwo verrechnet.
am schluss hast du einen Vz-fehler. Müsste plus 12i sein.
Laut
https://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/polynome.htm
ist 1 + i (bitte achte auf korrekte Schreibweise, a + ib mit a, b € R) tatsächlich eine Lösung der gegebenen Gleichung. Vielleicht stellst du mal deine Rechung auf um zu schauen wo der Fehler liegt. Am Einfachsten ist es übrigens mittels der Faktorisierung der 16 zunächst die reellen Nullstellen zu ermitteln und diese abzudividieren, um die komplexen Nullstellen dann am quadratischen Polynom nachzuweisen.
Mit 1+i ist, da das Polynom reelle Nullstellen hat, auch die komplex konjugierte, also 1-i eine Nullstelle. Die Polynomdivision kannst du also gleich mit
( x - (1+i) ) (x - (1-i) ) = x^2 -2x + 2
machen.
Ich behaupte mal , der FS hat nicht diese elegante Treppenlösung gewählt , sondern jeden Term für sich ermittelt. Da kommt gerne mal die Fehlerteufelin vorbei.