Wie kann ich begründen?
Teilen Sie in einem gleichschenkligen Dreieck ABC die Basis AB durch zwei Teilpunkte P und Q in drei gleich lange Teile und verbinden Sie P und Q mit der Spitze C.
Zeigen Sie:
a) Die Strecken PC und QC sind gleich lang.
b) Frage: Sind auch die drei Teilwinkel an der
Spitze gleich groß?
2 Antworten
die erste Aufgabe ist einfach. Nach Voraussetzung sind
- AP gleich QB
- der Winkel in A gleich dem Winkel in B
- AC gleich BC
Damit sind die Dreiecke spiegelverkehrt deckungsgleich und somit alle sich entsprechenden Seitenlängen und Winkel identisch.
zu Aufgabe b: die Winkel sind nicht gleich groß. Die mathematische Begründung fällt mir aber gerade nicht ein. Mit etwas Recherche wirst du da aber sicher fündig. Um sich das zu visualisieren, stell dir vor, wie du eine feste Bodenplatte hast und oben mit Gummibändern mit den Randpunkten der Bodenplatte verbunden einen Aufhängepunkt, den du in gleichbleibender Höhe nach links und rechts verschieben kannst. So hast du ein an der Spitze verschiebbares Dreieck konstruiert. Dabei wird sofort klar, dass der Winkel oben immer kleiner wird, wie weiter du den Aufhängepunkt von der Bodenplatte wegziehst, weil die beiden Randpunkte der Bodenplatte aus Sicht des Aufhängepunkts immer näher zusammenrücken. Jetzt muss man das nur noch mathematisch ausdrücken 😉
Zu b)
Es genügt ein Beweis durch ein Gegenbeispiel. Nimm ein gleichseitiges Dreieck an.
Im Dreieck PMC (M ist der Mittelpunkt der unteren Seite), welches im Inneren des gleichseitigen Dreiecks mit der Seitenlänge a ist, gilt:
Winkel bei P=arctan(H/(1/6*a)) und H=√(a²-(1/2a)²)
Für jedes a>0 spuckt mir ein Rechner als Winkel 79.11 Grad aus, was den oberen Teilwinkel bei c zu 21,78° macht, wobei dieser 20° sein müsste, damit alle Teilstücke gleich sind.