Wie kann das bei de Morgan auf die Mengenlehre stimmen?

Moin, ich benötige Hilfe in Mathe. Hier gibt es eine Aufgabe, die ich nicht verstehe. Und zwar der Beweis eines Gesetzes von de Morgan in der Mengenlehre.

Es geht um folgendes Gesetz:

L\(M∪N) = (L\M) ∩ (L\N)

Bewiesen werden soll die Behauptung der Gleichheit beider Mengenformeln.

In der Lösung, also dem Beweis zu dieser Aufgabe steht:

FALL 1: Sei x∈M, dann ist x∉N. Somit gilt L\N. Das ist soweit logisch. Und da x∈L, ist L\M woraus sich ergibt (L\M) ∩ (L\N).

Aber, was ich hier jetzt nicht verstehe, wenn x doch offensichtlich vom Skript angegeben ein Element von M ist, ist es in der Menge L ohne die Vereinigung von M und N ja nicht vorhanden. Wie kann es dann trotzdem vorhanden sein (halt in L). Das ist für mich absolut paradox.

Die anderen Beiden Fälle x∈N x∉M sowie x∉M x∉N lasse ich hier zu Erklärzwecken einfach mal weg.

Answer 1

[tunik123]

Diesen Beweis finde ich sehr verworren. Man braucht doch nur die vier möglichen Fälle zu betrachten. (In jedem Falle gilt x∈L.)

x∈M            ja   ja  nein nein
x∈N            ja  nein  ja  nein

x∈(M∪N)        ja   ja   ja  nein
x∈L\(M∪N)     nein nein nein  ja

x∈(L\M)       nein nein  ja   ja
x∈(L\N)       nein  ja  nein  ja
x∈(L\M)∩(L\N) nein nein nein  ja

Wie man sieht, sind die Mengen L\(M∪N) und (L\M) ∩ (L\N) identisch.

Answer 2

[myotis]

irgendwas \ was anderes heißt irgendwas OHNE das andere

= daher kann in Deinem "Beweis" L \ N nicht alleine stehen

Sei x∈M, dann ist x∉N und Obermenge L = M ∪ N ∪ P

das gesuchte L\(M∪N) = ist also genau das vorgenannte P

L\M = N ∪ P

L\N = M ∪ P

Das Gesetz L\(M∪N) = (L\M) ∩ (L\N)

schreiben wir also um in L\(M∪N) = (N ∪ P) ∩ (M ∪ P)

und weil M definitonsgemäß ungleich N ist fallen beide aus der Schnittmenge raus

also L\(M∪N) = ( P) ∩ ( P) = P

qed

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung

Answer 3

[Nilsneun]

Und da x∈L, ist L\M woraus sich ergibt (L\M) ∩ (L\N).

Die Argumentation ist für mich nicht nachvollziehbar.

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(Ich nehme an, dass L eine Obermenge von M und N ist und, dass M und N disjunkt sind)

Bis hierhin stimme ich überein:

Wenn x ∈ M, dann gilt x ∈ L \ N.

Aus x ∈ M folgt aber, dass x ∉ L \ M und demnach gilt auch x ∉ (L\M) ∩ (L\N).

Aber, was ich hier jetzt nicht verstehe, wenn x doch offensichtlich vom Skript angegeben ein Element von M ist, ist es in der Menge L ohne die Vereinigung von M und N ja nicht vorhanden. Wie kann es dann trotzdem vorhanden sein (halt in L)

Weil die Vereinigung M ∪ N eine Teilmenge von L ist.

Und es gilt x ∈ M ∪ N ⊂ L. Daraus folgt, dass x auch in der Obermenge vorhanden sein muss x ∈ L.

L \ (M ∪ N) ist eine andere Teilmenge von L, in der x nicht vorhanden ist.

Comments

[RaceShafter]

„Seien L, M und N Mengen“. Demnach ist wohl keine Menge eine Teilmenge.