Mengenlehre: Kann mir jemand bei dem Beweis helfen?
Hey,
ich müsste hier diese Aussage beweisen und komme grad nicht wirklich voran:
A△(A∪B)=B\A
Ich möchte die linke Seite so umformen, dass ich auf die Aussage der rechten Seite komme.
Definition symmetrischen Differenz lautet: Die symmetrische Differenz zweier Mengen enthält genau diejenigen Elemente, die in exakt einer Mengen enthalten sind; also diejenigen Elemente, die in ihrer Vereinigung, aber nicht in ihrem Durchschnitt enthalten sind.
Auch ist mir bekannt das: A△B = (A\B) ∪ (B\A) = (A∪B)\(A∩B)
Mit diesen Infos kam ich auf meinen Ansatz:
∀x: sei x fest aber beliebig: x∈A △ x∈(A∪B )= x∈(B\A)
x∈A △ x∈(A∪B ) <==>x∈(A\(A∪B)) ∪ x∈((A∪B)\A)
... ich hab aber keine Ahnung ob das richtig ist.. ich denke mal nicht.
Kann mir da jemand weiter helfen? wäre super!
LG
1 Antwort
Ich mache eine Richtung in Prosa. Zunächst würde aus x € A sym (A U B) ja folgen dass x entweder in A oder in A U B sein muß. Sei x € A, so ist x nicht in A U B (wegen der symmetischen Differenz), demzufolge also WEDER in B noch in A, was ein Widerspruch wäre. Also muß das x in A U B sein, damit nicht in A und damit ist x € B\A.
Umgekehrt funktioniert der Beweis genau so. Nun mußt du das noch mathematisch sauber ausformulieren.
sieht gut aus, ausser dass dir da zwischendrinnen ein x verloren gegangen ist.
hey, sorry ich wollte dich noch was fragen, denn ich brauche eine zweite Meinung: ich habe bei meinem Beweis, in der dritten Zeile, (x∈A∧x∉(A∪B)--> Leere Menge geschrieben. Hier nehme ich ja an, dass B eine echte Teilmenge von A ist. Deshalb komme ich auf die leere Menge. Meine Frage: Darf ich das überhaupt?
Weil wenn ih zb hab A{1,2,3,4,5} und B{1,2,3} A∪B{1,2,3,4,5} , dann würde das sinn machen (x∈A∧x∉(A∪B)--> Leere Menge
aber wenn es genau umgekehrt wäre B{1,2,3,4,5} und A{1,2,3} A∪B{1,2,3,4,5}, dann würde das (x∈A∧x∉(A∪B)--> Leere Menge keinen sinn mehr machen, oder? weil, ganz doof gesagt, in der menge A∪B noch weitere Elemente wie 4,5 enthalten sind
müsste ich das konkret noch dazu schreiben, dass ich das annehme? aber dann würde dieser Aussage nur stimmen, wenn B eine echte Teilmenge von A wäre oder?
Nein, du nimmst nicht an das B echte Teilmenge von a ist. Wenn x nicht element von A U B ist, ist x nicht Element von A UND x ist nicht Element von B. Damit ist eben die Aussage widersprüchlich.
Zu deinem zweiten Absatz: Wenn x 1, ..., 5 ist, dann ist x in A U B im Widerspruch zur Annahme dass es da gerade nicht drinnen ist.
x∈(A △ (A∪B ) )<==> x∈(A\(A∪B)) ∪ x∈((A∪B)\A)
<==> (x∈A∧∉(A∪B)) ∪ (x∈(A∪B) ∧ ∉A)
(x∈A∧∉(A∪B) —> leere Menge
x∈(A∪B) ∧ ∉A) —>( x∈A ∨ x∈B) ∧ ∉A
—> (x∈A ∧ ∉A) ∨ (x∈B ∧ ∉A)
(x∈A ∧ ∉A) —> leere Menge
(x∈B ∧ ∉A) =x∈(B\A)
wäre das auch eine Option? sorry sieht etwas wild aus, aber ich habs nicht ordentlicher hinbekommen