Differenz der Quadrate 2 natürlichen Zahlen?
hallo, ich bin auf folgende Aussage gestoßen:
Es gibt keine zwei natürlichen Zahlen, sodass die Differenz ihrer Quadrate gleich 10
ist.
Meine 2 Aussagen:
A:a und b sind Elemente de natürlichen Zahlen
B:a^2 - b^2 ≠ 10
Ich habe dafür eine Fallunterscheidung gemacht. Wenn entweder a oder b=0
ist, dann ist der andere Summand = wurzel 10 und ist somit keine natürliche Zahl.
Beim Fall 2 habe ich a und b>0 betrachtet, jedoch komme ich weder mit dem indirekten oder Widerspruchsbeweis nicht zum Ergebnis.
Hättet ihr Tipps oder Denkanstöße für mich? Vielen Dank!
es ist natürlich a^2 - b^2 ≠ 10 :) ich habe mich vertippt
3 Antworten
Ich bin kein Experte aber das wäre meine Idee
Versuchen wir es mal als Widerspruch:
seien a und b natürlich
a^2-b^2 = 10
stellen wir Mal um erhalten wir:
b = √(a^2 - 10)
Das bedeutet, dass es eigentlich reicht zu zeigen, dass √(a^2 - 10) nicht natürlich ist. Weil dann ist schließlich b keine natürliche Zahl und somit erhalten wir einen Widerspruch, da wir angenommen hatten, dass b natürlich ist.
Wie soll das aber nun gehen? Dazu muss man zeigen, dass a^2 - 10 keine Quadratzahl ist. Weil wenn der Ausdruck unter der Wurzel keine Quadratzahl ist, kann der gesamte Ausdruck nicht natürlich sein.
a ist schließlich, nach Voraussetzung, auch natürlich. Jetzt stellt sich mir aber das Problem, dass alles wieder von vorne los geht... man kommt durch meinen Nasatz irgendwie in eine unendliche Spirale
hey! ich habe a^2-b^2 = (a+b)(a-b) geschrieben und 10 = 1*10 = 2*5. Danach habe ich mit ungeraden und geraden Zahlen argumentiert, wobei ich mir sicher bin, dass man auch mit der Eindeutigkeit argumentieren kann (es gibt nur eine Lösung für a und b).
- Nimm an, dass du zwei natürliche Zahlen a, b mit a² - b² = 10 hast.
- Nutze die dritte binomische Formel.
- Nutze die Primfaktorzerlegung von 10, um zu schlussfolgern, welche Werte die Faktoren annehmen können.
- Zeige, dass keines der oben ermittelten Faktor-Paare möglich ist.
Aussage B sieht mir jetzt nicht nach einer Differenz aus 🤔