Ist die Differenz zweier irrationaler Zahlen immer irrational?

Im Lösungsheft steht, dass diese Aussage nicht stimmt. Aber ich finde kein Beispiel mit Zahlen. Wüsste jemand eines?

Answer 1

[LORDderANALYSE]

Ist die Differenz zweier irrationaler Zahlen immer irrational?

Nein.

Ein Beispiel dafür ist π - π = 0, da π eine irrationale Zahl ist und minus sich selbst 0 ergibt.

Im Lösungsheft steht, dass diese Aussage nicht stimmt. Aber ich finde kein Beispiel mit Zahlen.

Wir können das ja einmal mathematich formolieren und umstell, dann wird's einfacher:

i, j sind irrationale Zahlen
x, y sind reelle      Zahlen

i - j = x

Wir können mit etwas umformen das daraus machen:

      i - j = x
i - (i + y) = x
  i - i - y = x
         -y = x

=> die Differenz zweier irrationalen ist dann eine reelle Zahl, wenn eine der beiden Zahlen gleich wie die andere ist + eine reelle Zahl,
was man an der Umformung ganz gut erkennt.^^

Wüsste jemand eines?

Denken wir uns spotan eins aus mit den hergeleiteten Verfahren:

π - j = 2      | -π
   -j = 2 - π  | *(-1)
    j = -2 + π
=> ein irrationale Zahlen-Paar für das das gilt ist:
   i = π und j = -2 + π

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung

Answer 2

[evtldocha]

Zum Beispiel:

$x=\sqrt{2};\ y=\ 1+\ \sqrt{2}=>\ x-y\ =\ 1$

Answer 3

[AntiPutin]

Zum Beispiel wenn sie identisch sind.

Answer 4

[grtgrt]

Nimm irgend eine irrationale Zahl X und setze Y = X+1.

Dann sind X und Y irrational, aber Y-X = 1 ist rational.