Wie ist der Ansatz zu dieser Aufgabe?
Hi,
ich weiß den Ansatz zu dieser Aufgabe nicht. Weil ich nicht weiß wie ich hier Haupt und Nebenbedingung aufstellen muss.
Also was ich bisher weiß:
A(r,h) = π r² + 2 r π h
V(r,h) = π r² h
h = V/π r²
Mantelfläche: M= 20 - 2r * 15
aber irgendwie komme ich gerade nicht weiter. Ich will keine Lösung für die Aufgabe. Nur vielleicht einen Ansatz oder Denkanstoß. Irgendwie muss ich da ja auch die Maße rein bringen.
Aus einem rechteckigen Blechstück mit den Abmessungen 20cm * 15cm soll eine oben offene, zylindrische Blechdose hergestellt werden, die ein mög- lichst großes Volumen hat.
a) Tom erhält mit der Skizze V(r) = - 2π * r³ + 20π * r² als Zielfunktion und ihr lokales Maximum bei r ≈ 6,67cm . Erläutern Sie, wie Tom zu seinen Ergebnissen kommt.
b) Erklären Sie, warum die Dose mit r = 6,67 cm nicht hergestellt werden kann.
c) Ermitteln Sie das größtmögliche Volumen der Dose.
3 Antworten
zu a) In Toms Skizze liegt der Kreis für den Boden neben dem Mantel-Rechteck. Also gilt 2r+h=20, und der Umfang ist auf 15 cm begrenzt. Tom hat h=20−2r in die V-Formel eingesetzt, nach r abgeleitet (V'=−6πr²+40πr) und davon die Nullstellen berechnet. Bei r=0 hat V ein Minimum, bei r=20/3≈6,67 ein Maximum.
zu b) Dummerweise ist wegen U≤15 bei r = 15/(2π) ≈ 2,39 Schluss. Nebenbedingungen können echte Spaßbremsen sein!
zu c) Mit Toms Ansatz steigt das Volumen zwischen r=0 und r=2,39 monoton. Das Maximum bekommt er also wegen U≤15 am Rand bei r=2,39. Berechne das entsprechende Volumen.
Ein anderer Ansatz wäre, das Blech um 90⁰ zu drehen. Dann hast Du 2r+h=15 und als Randbedingung U≤20. Rechne auch das (genau wie oben) durch und nimm das bessere Ergebnis.
Ich selbst würde an der Unterkante des Mantels Fransen der Länge r lassen und diese dann für den Boden nach innen biegen. Das verschwendet weniger Material und wird sicher eine deutlich größere Dose ergeben. Auch hier muss man die Rechnung für beide Blech-Orientierungen getrennt durchführen und die Ergebnisse vergleichen.
Allerdings bleibt offen, ob jemand Anderes eine bessere Idee hat, das Blech mit noch weniger Abfall zu zerschneiden. Eine echte Obergrenze erreicht man nur, indem man das Blech einschmelzt und daraus ohne Materialverlust die Dose gießt.
Danke dir vielmals!!! Hast jetzt eigentlich was gut bei mir ^^
Hat mir sehr weitergeholfen :)
b) Der Umfang der Dose wäre (6,67 x 2 x π) cm ,
und das ist größer als die Breite (bzw. Länge) des Bleches (20cm)
Ich sehe gerade noch, dass bei M Klammern fehlen:
M= (20 - 2r) * 15
die ein möglichst großes Volumen hat.
Daher ist V(r,h) die Zielfunktion . Und die Blechmenge die Nebenbedingung
a) Weil Tom Zielfkt nur r enthält , muss man also h ersetzen
aus 300 = π r² + 2 r π h wird
h = ( 300 - pi*r²)/2r*pi
Jetzt rein in V für h
V(r) = pi * r² * ( 300 - pi*r²)/2r*pi.........kürzen
= 1/2 * r * ( 300 - pi*r² )
= 150 r - 0.5*pi*r³ ......................so wäre es m.E. richtig
.
Warum wird die Mantelfläche benutzt ? Die Dose ist nur OBEN offen .
Außerdem M= ( 20 - 2r ) * 15 ..........wo ist das pi geblieben ? ich check grad gar nix mehr .
danke dir!
Wenn du dir das Blech stück Vorstellst, ist das ja in ein Rechteck (Mantelfläche) und Kreis (Boden) aufgeteilt. Daher ist die Mantelfläche, in meiner Annahme, (20 - 2r) * 15
2r ist auch d (Durchmesser des Kreises)
und kürzt sich bei h dann nicht ein r raus? Oder bin ich gerade durcheinander haha
Danke dir, hab aber leider eher bei a) und c) Probleme. Mit b) hatte ich mich noch gar nicht auseinander gesetzt ^^