Extremwertaufgabe mit Getränkedose?
Ich habe hier ein Beispiel aber weiß überhaupt nicht, wie man das berechnen soll:
Eine Getränkedose(inklusive Deckel) hat die Form eines geraden Zylinders und wurde aus 400 cm^2 Blech hergestellt. Berechne den Radius und die Höhe der Dose, damit das Volumen größtmöglich wird.
Gib zudem die Gleichung der zugehörigen Zielfunktion an.
2 Antworten
Die Oberfläche ist
O ≡ 2 π r (r + h) = 400
h = (200 / (πr) ) - r
Das ist die Nebenbedingung.
Du kannst jetzt h'(r) bilden, da du eine Funktion von r hast.
Die 1. Ableitung zeigt dir die Extremwerte.
Die 2. Ableitung zeigt, welcher ein Maximum ist.
Noch eine Anmerkung:
Der Radius in der schnellen Lösung ist imaginär.
Ich vermute daher, dass auch dieser zur Lösung der Aufgabe ausreichen könnte, denn es sollten ja nur h und r betrachtet werden.
r steht quadratisch in der Volumenformel, daher wird es beim Einsetzen wieder reell. Ich denke, damals als Schüler hätte ich riskiert, so zu argumentieren.
Aber man ist natürlich auf der sicheren Seite, wenn man a priori mit der Volumenformel hantiert.
Nicht zwangsläufig, wenn du einen in irgendeiner Form ableitbaren Term hast, der sich in derselben Richtung entwickelt, z.B. den Radius.
Nimm den einfachen Fall: Umfang und Radius eines Kreises.
Wenn du den Radius vergrößerst, vergrößerst du den Umfang sogar proportional. (Das war doch gerade Archimedes' Ansatz.)
Aber hier sollte doch das Volumen maximiert werden. Müsste das dann nicht die Zielfunktion seinn die auf Extrema untersucht wird?
Das ist eine höllische Rechnerei.
Wenn der maximale Radius berechnet wird, während ja h dann automatisch minimiert wird, ist dem schon Genüge getan.
So würde ich zumindest argumentieren. Vielleicht wäre ich ja damit durchgekommen ...
Als Nebenbedingung hast Du die Oberfläche des Zylinders und gesucht ist das max. Volumen.
Forme die Oberflächenformel nach h um und setze das dann in die Volumenformel ein (dies ist dann Deine Zielfunktion, die von r abhängt). Dann daraus die Extremwerte berechnen...
h(r) zeigt im Grunde "nur" alle (auch unlogischen) Zahlenpaare (r|h) für die die Oberfläche 400 (cm²) ergibt. h' wird nie Null, d. h. h(r) hat keine Extremstellen.
Stattdessen muss dieses h in die Volumenformel eingesetzt werden, die daraufhin nach Extremwerten untersucht wird.