Wie integriert man das (Mathe, Foto)?

Ich habe mit der Substitution versucht, aber dann habe ich in der Formel sowohl u als auch x, obwohl ich am Ende "du" habe. Wie könnte man das mit der Substitution lösen?

Vielen Dank im Voraus.

Answer 1

[evtldocha]

Substitution:

$u=2x^3+2x\ \rightarrow\ \frac{du}{dx}=6x^2+2=2\cdot\left(3x^2+1\right)\ \rightarrow\ dx\ =\frac{du}{2\cdot\left(3x^2+1\right)}\$

Damit:

$\int\left(3x^2+1\right)\cdot\sqrt{2x^3+2x}dx=\frac{1}{2}\int\sqrt{u}du$

Der Rest sollte nun einfach sein

Nachtrag nach Kommentar:

Den Schluss der Substitutionszeile ganz oben beachten! Das ist der wesentliche Term, um von dx nach du zu kommen (das Ganze klappt natürlich nur, weil der Faktor vor Wurzel bis auf einen Faktor 1/2 der Ableitung des Terms unter der Wurzel entspricht).

$\int\left(3x^2+1\right)\cdot\sqrt{2x^2+2x}dx=\int\left(3x^2+1\right)\sqrt{u}\frac{du}{2\cdot\left(3x^2+1\right)}=\frac{1}{2}\int\sqrt{u}du$

Comments

[Sbaek]

Vielen Dank. Wie haben Sie "dx" zu "du" umgewandelt, ohne einen Term mit x in die Formel zu haben? Also in diesem Fall, wenn man dx zu du umwandeln will, dann muss man die Formel mit 1/2*(3x^2+1) multiplizieren, wofür man dann wieder dx am Ende braucht, oder?

[evtldocha]

@Sbaek

Habe ich doch hingeschrieben: Die Infinitesimale du/dx einfach umgestellt, dann dx in das ursprüngliche Integral eingesetzt und dann kürzt sich (3x²+1)

[evtldocha]

@Sbaek

Bitte den Nachtrag in der Antwort beachten. Vielleicht mach es das klarer.