Wie ermittle ich aus diesen Graphen die Funktionsgleichung?

Danke im voraus:)

Answer 1

[verreisterNutzer]

Ich skizziere mal den Weg:

Die Funktion hat zwei Nullstellen: Eine bei x=0 und eine bei x=u, also kann man sie so schreiben:

$f\left(x\right)=a\cdot x\cdot\left(x-u\right)$

Nun hat man (und die erste Bedingung des Scheitelpunkts bei u/2 = 9 ist meines Erachtens nicht sauber in der Aufgabe angegeben)

$\left(1\right)\ f\left(\frac{u}{2}\right)=9$ $\left(2\right)\ \int_{_0}^{^u}a\cdot x\left(x-u\right)\ dx\ =\ 36$

Aus Bedingung (1) erhält man nach wenigen Umformungen: $\left[1\right]\ a=-\frac{36}{u^2}$

Aus Bedingung (2) erhält man: $-a\cdot\frac{u^3}{6}=\ 36\ \ \$

und unter Verwendung von [1] die Gleichung: $\frac{36}{u^2}\cdot\frac{u^3}{6}=36\ \rightarrow\ 6u=\ 36\ \rightarrow\ u\ =6$

und mit Hilfe von [1] $a=-\frac{36}{6^2}=-1$

Die gesuchte Funktion lautet also: $f\left(x\right)=-x\left(x-6\right)=-x^2+6x$

Skizze:

Comments

[bluemchen2110]

Vielen Dank aber ich hätte noch zwei Verständnisfragen unzwar wie kommst du auf die erste Gleichung: f(x)= ax*(x-u) und wie genau kommst du auf das Ergebnis: -36/u² bei Bedingung 1?

[verreisterNutzer]

@bluemchen2110

1) Jedes Polynom n-ten Grades dessen maximal "n" Nullstellen man alle kennt, kann man in der faktorisierten Form f(x) = a·(x-x₁)·(x-x₂)·…·(x-x_n) schreiben (denk daran, warum man Polynomdivision macht um Nullstellen zu finden, falls ihr das Thema schon hattet)

2) Ich habe geschrieben, dass die Lösung eine Skizze ist. Du musst schon x=u/2 in die Funktionsgleichung einsetzen und dann - ebenfalls wie geschrieben - "wenige Umformungen" machen ("Sehen" kann man dieses Zwischenergebnis [1] nicht - außer man ist ein Genie)