Wie den Durchmesser eines gleichseitigen Sechsecks berechnen?
Ich möchte für einen Sechkant-Stab aus Stahl das Eigen-Gewicht berechnen. Die Dichte von Stahl beträgt etwa 7,85 g/cm³.
Das Gewicht ergäbe sich durch das Volumen (= Durchmesser x Länge) x Dichte.
Auswählbare Schlüssel-Weiten (SW) des Herstellers wären z.B. SW22 / SW32 / SW36 / SW41 / SW46 / SW55 (was angeblich synonym Ø entspricht). Aber: ist das jetzt der richtige Durchmesser für die Volumen-Formel?
Ich strebe jeweils ein Gesamt-Gewicht von 1. exakt 625 g, 2. eines von exakt 1,25 kg und 3. eines mit exakt 2,5 kg an. Welche genaue Länge bräuchte ich dementsprechend bei den vorgegebenen Schlüssel-Weiten? Die Länge sollte dabei 15 cm bzw. 150mm nicht übersteigen.
Über eine vollständige Formel würde ich mich sehr freuen. Besten Dank.
3 Antworten
Ein regelmäßiges Sechseck besteht aus sechs gleichseitigen Dreiecken. Ein gleichseitiges Dreieck mit Seitenlänge a hat eine Höhe h=√3/2⋅a. Im Sechseck entspricht a der Seitenlänge, 2a dem Abstand gegenüberliegender Ecken und 2h=√3⋅a dem Abstand gegenüberliegender Seiten (=Schlüsselweite).
Die Fläche des Dreiecks ist A=½ah=√3/4⋅a², die des Sechsecks folglich A=3⁄2√3⋅a².
Wenn Du jetzt eine beliebige Schlüsselweite gegeben hast, dann gilt s=√3⋅a bzw. a=s/√3, folglich ist A = 3⁄2 ⋅ √3 ⋅ ⅓s² = ½⋅√3⋅s². Das Volumen eines Stabes mit Länge l ist dann V=½⋅√3⋅ls² und seine Masse m=½⋅√3⋅ρls².
Das kannst Du jetzt nach l auflösen und all Deine Schlüsselweiten und Massen einsetzen, bis Du eine findest, die Dir eine passende Länge liefert. Achte dabei auf konsistente Einheiten, z.B. g und cm:
define len (s) { return m/s^2/rho*2/sqrt(3) }
rho=7.85
m=625
len(2.2); len(3.2); len(3.6); len(4.1); len (4.1); len(4.6); len (5.5)
18.99478434718724550288034888738871459
8.97800353910022150722078990380482213
7.09373119138782933903864881288282241
5.46905153125438835419041574152060550
5.46905153125438835419041574152060550
4.34474273347761192031856751488475324
3.03916549554995928046085582198219432
Für das leichteste Stück kannst Du also jede Schlüsselweite oberhalb der kleinsten (2 mm) nehmen. Bei der zweiten und dritten Masse ist die Auswahl zunehmend eingeengt:
m=1250
len(2.2); len(3.2); len(3.6); len(4.1); len (4.1); len(4.6); len (5.5)
37.98956869437449100576069777477742918
17.95600707820044301444157980760964426
14.18746238277565867807729762576564484
10.93810306250877670838083148304121101
10.93810306250877670838083148304121101
8.68948546695522384063713502976950648
6.07833099109991856092171164396438866
m=2500
len(2.2); len(3.2); len(3.6); len(4.1); len (4.1); len(4.6); len (5.5)
75.97913738874898201152139554955485838
35.91201415640088602888315961521928853
28.37492476555131735615459525153128970
21.87620612501755341676166296608242204
21.87620612501755341676166296608242204
17.37897093391044768127427005953901297
12.15666198219983712184342328792877733
Für die letzte Masse m=2.5 kg bleibt Dir also nur noch der 55-mm-Schlüssel, wenn Du unter 15 cm Läge bleiben willst.
(Rechne lieber jeden Schritt selbst nach, ich habe das hier nur flott eingetippt und nicht wirklich sauber durchdacht)
Ich würde es da ganz einfach über Fläche × Höhe × Dichte = Masse ( entsprechend umgestellt ) versuchen .
Berechne das Dreieck von einem Sechstel. Den Rest ergibt sich dann.
die Schlüsselweite / 2 ist die höhe vom gleichschenkligen Dreieck, welches innen 60° hat.
Danke, aber vor der Bestellung weiß ich ja die Seiten-Längen nicht. SW55 sei Ø55 mm. Wäre dann eine Seite 27,5 mm?