Wie bestimme ich den Abstand zweier paralleler Geraden (lineare Funktionen)?
Hi :) ich mach gerade ein paar Übungsaufgaben für meine kommende Mathe Klausur am Montag und habe Problem mit folgender Aufgabe:
Bestimmen Sie den Abstand der beiden parallelen Geraden f(x) = 0,75 x -1 und g(x)= 0,75 x - 13,5
Könnt ihr mir dabei helfen? Ich würde mich über schnelle antworten freuen, da die Klausur ja schon am Montag ist. :)
5 Antworten
Da die Aufgabe in der Punktrichtungsform der Geraden gestellt ist, gehe ich nicht von einer vektoriellen Lösung aus.
In diesem Fall würde ich im Punkt D(x₁=0 |y₁=-1) eine senkrechte Gerade auf f(x) errechnen.
Orthogonalsteigung zu 0,75 = 3/4 ist ja -4,3 (beachte das Minus!).
Durch Gleichsetzung bringst du diese Senkrechte bei S(x₂|y₂) zum Schnitt mit g(x). Wenn du dann die Koordinaten von D und S hast, ist der
Abstand d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²) (Pythagoras)
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Wenn es noch was zu fragen gibt, schreib einen Kommentar.
Man könnte natürlich auch etwas herumspielen:
Der Arcus tangens der gemeinsamen Steigung führt zum Steigungswinkel, nennen wir ihn ß. Daraus kann man mit tan^-1 den Winkel ß errechnen. Wir brauchen aber (90° - ß). Da die Hypotenuse (auf der y-Achse) in ihrer Länge bekannt ist (12,5),
ist 12,5*cos (90°-ß) die untere Strecke bis S. Aus dieser Kathete und der Hypotenuse wäre der Abstand (das ist die andere Kathete) auch bestimmbar, natürlich mit dem Pythagoras.
Ein wahres Spießruten Laufen; konstant stürzt dieser Editor ausnahmslos ab. Und jetzt noch die ganzen Absätze wieder einfügen - eine wahre Knochenarbeit.
Machen wir erst mal alles ganzzahlig:
f | F ( x ; y ) = 3 x - 4 y = const = c1 = 4 ( 1a )
g | F ( x ; y ) = 3 x - 4 y = const = c2 = 54 ( 1b )
Sei ferner
( x0 | y0 ) € f ; ( x1 | y1 ) € g ( 2 )
Dann folgt aus der ===> Taylorformel ( z.B. Courant Band 2 )
F ( x1 ; y1 ) = F ( x0 ; y0 ) + < grad ( F ) | ds > ( 3a )
oder, wenn wir ( 1ab ) einsetzen
54 = 4 + < grad ( F ) | ds > ( 3b )
< grad ( F ) | ds > = 50 ( 3c )
Die Funktion F in ( 1ab ) bezeichnet ein ===> Höhenlinienprofil; Höhenlinien sind immer parrallel ( wenngleich sie i.A. nicht wie hier geradlinig verlaufen müssen. ) Als Vektor des senkrechten Abstandes steht ds senkrecht auf diesen Höhenlinien. Wie ihr alle aus Erdkäs wisst, bezeichnet der Gradient immer die Richtung des steilsten Anstiegs von F und steht senkrecht auf dem Höhenlinienprofil; die ===> Einhüllenden sämtlicher Gradientenvektoren sind die ===> Ortogonaltrajektorien von F . Somit haben grad ( F ) und ds in ( 3c ) die selbe Richtung; wir werten das Skalarprodukt aus
< grad ( F ) | ds > = | grad ( F ) | | ds | = 50 ( 4a )
Die ganze Info, die demnach überlebt, ist der Betrag des Gradientenvektors. Aus ( 1a )
grad ( F ) = | ( dF/dx ) ; ( dF/dy ) > = ( 3 | - 4 ) ( 4b )
| grad ( F ) | = sqr ( 3 ² + 4 ² ) = 5 ( 4c )
und in ( 4a )
| grad ( F ) | | ds | = 5 | ds | = 50 ===> | ds | = 10 ( 4d )
Dies ist die Antwort; der Abstand von f und g beträgt 10
Ich denke, das geht ohne Vektorrechnung, aber auch ohne Berechnung eines Schnittpunkts.
A. Mache eine Skizze mit dem Graph von f(x) (Gerade f) und von g(x) (Gerade g) und zeichne ein Steigungsdreieck ACB an so an g, dass α der Steigungswinkel ist. Wegen tan(α) = Steigung m kannst du α bestimmen.
C' ist der Fußpunkt des Lotes von A auf f. Eine Parallele zur y-Achse durch A schneidet f in B'. Mit Winkelsummen an der Gerade (AC) siehst du, dass der Winkel B' A C' (auch) α ist.
Im Dreieck AB'C' ist ist AC' der gesuchte Abstand. Die Länge AB = -13,5 -(-1), und weil das Dreieck AB'C' rechtwinklig ist, ist AC' = AB * cos(α).
Antwort eines anderen Users
Keine Ahnung, ob es richtig ist,weil es mir ein bisschen zu einfach vorkommt, aber ich würde sagen
13,5 - 1 = 12,5
wähle einen Punkt von f zb P(0;-1) und m= -1/0,75 und erstelle eine Gerade h y=mx+b mit P und m.
dann g=h und Schnittpunkt S berechnen; dann Abstand PS mit Pythagoras.