Wie bestimme ich alle Punkte, die einen gewissen Abstand d zu einer Ebene haben?
Hallo, Ich verstehe absolut nicht, Wie ich das machen soll. Könntet ihr mir das aber wenn dann bitte ohne Hesse erklären, da ich diese nicht in meiner Klausur verwenden darf. Danke im Voraus.
3 Antworten
Kein Hesse? Schade :-)
Alle Punkte, die einen gewissen Abstand zu einer vorgegebenen Ebene E haben, müssen auf einer zu E parallelen Ebene F liegen. Das ist anschaulich klar, denke ich.
Nun benötigst Du (zum Aufstellen einer Normalenform) zumindest EINEN Punkt mit diesem Abstand. Idee: Du gehst von einem beliebigen Punkt von E orthogonal zu E so weit weg, bis Du genau den gewünschten Abstand hast.
Nehmen wir an, A sei ein Punkt auf E, der Abstand sei d, ein Normalenvektor (NV) zu E sei n.
Zu einem Punkt P der parallelen Ebene F gelangst Du nun auf diese Art:
p = a + d·n/|n|
Ich teile n durch |n|, damit dieser NV die Länge 1 hat. Das multipliziere ich mit d, um auf den Abstand d zu kommen.
Weg klar?
Übrigens: eine zweite Ebene erhältst Du mit p = a - d·n/|n|.
Ein schnellerer Weg fällt mir eider nicht ein :-(
Verfahren wie beschrieben.
Die Vorfaktoren von x1... bilden den NV.
Wenn Du dann einen neuen Punkt P hast, bildest Du das Skalarprodukt von p mit n, das ergibt die neue Konstante für die Koordinatenform. Der Rest der Ebenengleichung bleibt gleich (da die neue Ebene denselben NV haben kann).
dieser Moment wenn jetzt alle Bundesländer mathe abitur schreiben 😂 hab es heute hinter mir und es war schrecklich 😂 da kam sowas übrigens dran...
Welches Bundesland? NRW? Niedersachsen? ???
Aus NRW habe ich soeben die Rückmeldung dreier ziemlich zufriedener Schülerinnen gelesen:
wir hatten so im ganzen keine Probleme mit den Aufgaben!
Alle Punkte, die von einer Ebene einen festen Abstand besitzen, sind ein Ebenenpaar. Verschiebe also deine Ebene um diesen Abstand in die eine und einmal in die entgegengesetzte Richtung.
Und wie verschiebe ich die wenn ich eine Koordinatenform habe? außerdem steht da auch was von drei Punkten mit dem gleichen Abstand aber das wären doch nur zwei oder?
Eine Veränderung der Konstanten in der Koordinatenform bewirkt eine Verschiebung der Ebene.
Du suchst also eine Menge von Punkten. Diese Menge bildet eine Parallel-Ebene. Das bedeutet, du nimmst die gegebene Ebene und verschiebst die um den Abstand [entlang der Orthogonalen (der Senkrechte Strich)]
Dankeschön!! Und wie würde das gehen, wenn ich nur die Koordinatenform benutzen würde? Da wären dann ja die Vorfaktoren vor x1 etc. Wie in der Ebene E, da wenn Ebenen parallel sind, sie den gleichen Normalenvektor haben. Aber wie würde ich da dann weiter machen?