Wie bestimme ich alle Punkte auf der x3 Achse, die den Abstand 9 zu Ebene E=4x-y+8z=7 haben?
Ich brauche dringend Hilfe bei dieser Aufgabe. Gut wäre eine begründete Art, wie dabei vorzugehen ist.
1 Antwort
Hallo,
der Abstand d eines Punktes Q zu einer Ebene berechnet sich nach der Formel
d=|n*(Q-P)|/|n|
n ist der Normalenvektor der Ebene, der bei einer Ebene in Koordinatenform direkt abgelesen werden kann. Seine Komponenten sind die Koeffizienten von x, y und z, hier also (4/-1/8).
Q ist ein Punkt auf der x3 (z-)Achse, der zu E einen Abstand von 9 haben soll, hat also die Koordinaten (0/0/z), wobei z noch bestimmt werden muß.
P ist irgendein Punkt auf der Ebene. Wenn Du für x und z jeweils 0 einsetzt, muß y=-7 sein, damit die Gleichung 4x-y+8z=7 erfüllt ist.
Q-P daher (0/0/z)-(0/-7/0)=(0/7/z)
|n| ist der Betrag von n, also die Wurzel aus (4²+(-1)²+8²)=Wurzel (81)=9
Damit d=|9|, muß |n*(0/7/z)| gleich ±81 sein, denn |81|/9=9
(4/-1/8)·(0/7/z)=4*0-1*7+8*z=81
8*z=88
4*0-1*7+8*z=-81
8*z=-74
z=-74/8=-37/4=-9,25
Die beiden Punkte auf der z-Achse mit Abstand 9 von der Ebene haben also die Koordinaten (0/0/11) und (0/0/-9,25)
Herzliche Grüße,
Willy
Du bestimmst irgendeinen Punkt auf der Ebene, am einfachsten den Punkt (0|-7|0).
Nun bestimmst Du den Betrag des Normalenvektors (4/-1/8), der hier passenderweise gleich 9 ist (andernfalls hättest Du den Normalenvektor mit einer Konstante multiplizieren müssen, um auf den Betrag von 9 zu kommen.
Hier ist die Konstante gleich 1 und kann weggelassen werden.
Nun bestimmst Du zwei Punkte auf parallelen Ebenen zu der gegeben, indem Du zu (0/-7/0) einmal (4/-1/8) addierst, was (4/-8/8) ergibt und einmal subtrahierst, was (-4/-6/-8) ergibt.
Da die parallelen Ebenen die gleichen Koeffizienten wie die gegebene Ebene haben, mußt Du die beiden gefundenen Punkte nur in das Schema 4x-y+8z einsetzen:
Für Punkt (4/-8/8) bedeutet dies:
4*4-1*(-8)+8*8=88
Die obere Ebene im Abstand 9 hat also die Gleichung
4x-y+8z=88
Durch Einsetzen des anderen Punktes kommst Du auf die Gleichung der zweiten Ebene:
4x-y+8z=-74
Nun brauchst Du noch für beide Ebenen die Punkte, die auf der z-Achse liegen, die Du bekommst, wenn Du für x und y jeweils 0 einsetzt:
8z=88, daher z=11
8z=-74, z=-9,25
Parallele Ebenen unterscheiden sich in der Koordinatenform nur durch die Konstante hinter dem Gleichheitszeichen.
Die Koeffizienten von x, y und z sind immer die Koordinaten des Normalenvektors, eines Vektors also, der senkrecht zur Ebene liegt.
Da ein Vektor beliebig im Raum verschoben werden kann, solange es sich um Parallelverschiebungen handelt und durch Multiplikation mit einer Konstanten auf jede beliebige Länge gebracht werden kann, reicht es, zu irgendeinem Punkt auf einer Ebene den entsprechend langen Normalenvektor zu addieren, um auf einen Punkt einer parallelen Ebene zu kommen, deren Abstand der Länge des Normalenvektors entspricht.
Setzt Du diesen Punkt in x, y und z der Ebenengleichung ein und rechnest das Ergebnis aus, hast Du die parallele Ebene im gewünschten Abstand, deren Schnittpunkt mit der z-Achse einfach dadurch bestimmt wird, wenn für x und y jeweils 0 eingesetzt wird.
Willy
Vielen Dank für die Antwort. Aber leider hatten wir noch die Hessesche Normalenform nicht behandelt, weswegen ich mit Lotfußpunkt usw rechnen muss. Trotzdem eine Idee wie vorzugehen ist?