Wie behandelt man das dx beim Integrieren?

6 Antworten

Wie behandelt man das dx beim Integrieren?

In erster Linie liest man daran ab, über welche Variable man überhaupt integrieren soll. 

…soll es eine Konstante sein, da die ja beim Integrieren wegfällt…

Beides nein. Nein, dx ist keine Konstante und nein, Konstanten fallen bei der Integration auch nicht weg.

Multiplikative Konstanten bleiben erhalten und lassen sich vor das Integral ziehen, etwa für eine lineare Beschleunigung aus dem Stand (v(t₁)=0) durch eine zwischen t₁ und t₂ wirkende Kraft F(t):

(1) v = p/m = ∫_[t₁]^{t₂} dt F(t)/m = (1/m)∫_[t₁]^{t₂} dt F(t)

Additive Konstanten fallen bei der Integration nicht weg, sondern ergeben lineare Terme, Beispiel Bremsweg s zum Stillstand (v(t₂)=0):

(2) s = ∫_[t₁]^{t₂} dt v₀ – a·t = v₀·t – ½·a·t²

Meistens schreibt man »∫_[t₁]^{t₂} … dt« statt »∫_[t₁]^{t₂} dt …«, aber ich bevorzuge die Schulz'sche Notation mit »∫_[t₁]^{t₂} dt« als Operator.

Jedenfalls hege ich den Verdacht, dass Du an dieser Stelle Integration und Differentiation verwechselt hast. Der erhärtet sich durch:

 … oder soll es sowas wie eine Unbekannte sein, beim Integrieren würde ja 1 rauskommen.

Nein. Eine anmultiplizierte Variable, die nicht von x (damit meine ich jetzt wieder die Integrationsvariable, in den Beispielen war es ja t) abhängt, ist für eine Integration eine Konstante, einer, die von x abhängt, ist nur durch partielle Integration beizukommen.

Jetzt aber zur eigentlichen Frage:

Das dx in der Integration ist aber zunächst einmal weder das Eine noch das Andere, wie Roach5 es schon dargelegt hat.

Anschaulich kannst Du Dir dx als ein Δx vorstellen, das »unendlich« klein ist, sodass sich der Funktionswert f(x) zwischen x und x+dx so gut wie nicht ändert.

Du hast also einen Streifen der Breite dx und der Höhe f(x), und der hat dann in etwa die Fläche dx·f(x). Integration bedeutet, diese Streifen aufzusummieren, um dadurch die Gesamtfläche zu erhalten (Riemann-Summe bzw. Riemann-Integral):

(3) ∑_[k=0]^{n} Δx·f(x_[n]) → ∫_[x₁]^{x₂} dx f(x)

Integration von rechts nach links zählt allerdings als »negative Breite«, ebenso wie negative f(x) < 0 als »negative Höhe« zählt.

Diese Idee beruht auf der umgekehrten Annäherung an die Differentiation (Ableitung) über den Differenzenquotienten zum Differentialquotienten:

(4) Δf(x)/Δx → df(x)/dx.

Bei der Substitution, wie sie Roach5 angesprochen hat, werden denn auch - mathematisch nicht ganz sauber - Differentialquotienten wie Brüche behandelt und erweitert:

(5) dx = (dx/du)·du

dx ist weder Konstante noch Variable, das ist etwas schwer zu erklären, wenn du mathematisch wirklich wissen willst, was dahinter steckt, dann lies dich in das Thema "Differentialformen" ein.

Grob gesagt bieten die Differentiale dx, dy, d-irgendwas die Möglichkeit, auf beiden Seiten einer Gleichung abzuleiten, und dabei entstehende Fehler wegzukorrigieren, sodass sozusagen das Integral unabhängig von den von dir gewählten Koordinaten berechnet werden kann. Wenn du die Gleichung f(x) = g(u) hast, dann weißt du, dass f'(x)dx = g'(u)du, das ist ein Hauptergebnis und eine sehr wichtige Sache, um Integrale zu berechnen.

Wenn du dein Koordinatensystem halbierst, dann substituiert man: u = 2x, daraus bekommst du, wie du bereits weißt: du = 2 dx, es sagt also, dass das Integral nach u zwei mal so groß sein wird wie das nach x, wenn du f(x) nach x integrieren willst.

Bei einem Integral sagt das dx, dass deine Funktion nach x integriert wird (wenn du z.B. eine Funktion abhängig von mehreren Variablen hast und nicht klar ist, wonach integriert wird, und wird hier eher als "Zeichen" verwendet als als etwas, was wirklich etwas tut. Trotzdem kannst du damit rechnen, eben so, wie es die Theorie der Differentialformen erlaubt.

Kleines Beispiel: Du möchtest sin(1/2 x) nach x integrieren.

∫sin(1/2 x)dx. Jetzt substituierst du 1/2 x = u, und du bekommst du = 1/2 dx. Du kannst jetzt alles so einsetzen wie du es siehst, denn 1/2 x ist u, und 1/2dx ist du, also ist dx = 2 du, dann berechnest du nach u die Stammfunktion und kannst am ende zurücksubstituieren, also:

∫sin(1/2 x)dx = ∫sin(u)(2 du) = 2∫sin(u)du = -2cos(u) + c = -2cos(1/2 x) + c.

Bei weiteren Fragen bitte kommentieren,

LG

Ganz simpel gesagt, kannst du das "dx" so lange "ignorieren", bis du von einer "Formulierung" zu einer anderen wechseln (also z.B. kartesisch -> polar) oder du über eine andere Variable integrieren möchtest.

Wenn du bei der Substitution das dx "auswechseln" möchtest, kannst du es "für den Moment" behandeln wie eine Konstante:

I f(u(x))*u'(x) dx -> u(x)=u -> du/dx = u'(x) -> dx = du/u'(x) -> I f(u) du

Hier behandelst du das "dx" und das "du" (nach der Ableitung) ja wie Konstanten.

(Ich hab dir bei einer anderen deiner Fragen noch ein Beispiel zu dem "1/2" hinzugefügt, dachte dort passte es besser.)

Falls du noch nicht weisst, wie man sich die Integration herleitet (also was das dx eigentlich darstellt), empfehle ich dir ein Video zu "Riemann-Summe -> Integral" anzusehen. Mit ein paar Bildern ist das, glaube ich, einfacher zu verstehen, als bloss schriftlich erklärt ^^

Z.B. hier (falls dich Englisch nicht stört):

https://youtube.com/watch?v=fjJYRapK3SY

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