Stammfunktion durch Substitution bestimmen?

Es geht um die Aufgabe im Bild. Grundsätzlich weiss ich wie das Verfahren geht. Nur komm ich bei dieser Aufgabe auf ein Integral, welches ich nach tan(y) integrieren soll. Wie macht man so etwas, geht das überhaupt oder hab ich falsch gerechnet? Sonst hab

ich immer nur über eine Variable integriert, nie über eine Funktion. (Also ich weiss das x auch eine Funktion ist aber egal)

Answer 1

[TBDRM]

Du hast es richtig erkannt, dass es dich nicht weiterbringt. Am einfachsten wäre es, wenn du das Integral sofort erkennst (ist ein Standardintegral). Die Lösung ist

arctan(x) + const

Kannst du einfach zeigen, indem du die Ableitung vom Arkustangenz berechnest.

x = tan(arctan(x))

1 = (1 + tan²(arctan(x))) • arctan'(x)

1 = (1 + x²) • arctan'(x)

arctan'(x) = 1 / (1 + x²)

Hierbei habe ich im ersten Schritt den Ableitungsoperator auf die Identität angewandt.

Woher ich das weiß: Hobby – Mathematik (u. Physik)

Answer 2

[evtldocha]

Ich würde das so rechnen:

$\left(1\right)\ x=\tan\left(y\right)\ \to\ y=\ \arctan\left(x\right)$ $\left(2\right)\ x=\tan\left(y\right)\to\ \frac{dx}{dy}=\frac{1}{\cos^2\left(y\right)}\ \to dx=\frac{1}{\cos^2\left(y\right)}dy$

Damit (Substitution aus (1) und Gleichung (2) in das zu berechnende Integral einsetzen und am Ende die Folgerung aus (1) einsetzen):

$\int\frac{1}{1+x^2}dx\ =\int\frac{1}{1+\tan^2\left(y\right)}\cdot\frac{1}{\cos^2\left(y\right)}dy\ =\ \int\frac{1}{\cos^2\left(y\right)+\sin^2\left(y\right)}dy$ $=\int1dy\ =\ y+C\ =^{\left(1\right)}\arctan\left(x\right)+C$

Also: $\int\frac{1}{1+x^2}dx\ =\ \arctan\left(x\right)+C$