Der Lösungsweg wird ja vorgeschrieben: "mithilfe von Gleichsetzung von Real- und Imaginärteil".
Real- und Imaginärteil von z^2 ermitteln:
z = x + i*y -> z^2 = ...
-> Re(z^2) = ...
-> Im(z^2) = ...
Bsp.: z = 4 + 2i -> Re(z) = 4 & Im(z) = 2
Real- und Imaginärteil gleichsetzen:
Re(z^2) = 2
Im(z^2) = 2
-> Auflösen :)
Erdumfang = U
Erdradius = r
U = 2*r*pi (Annahme: Äquator = "perfekter Kreis")
Dem Erdumfang wird 2m hinzugefügt (U_neu = U + 2m, Einheiten beachten: m & km). Nun fragst du dich, was der "neue" Erdradius ist (r_neu = ?). Dies kannst du auch über die obere Formel ermitteln: U_neu einsetzen und nach r auflösen, das ist dann dein r_neu.
Der gesuchte Abstand ergibt sich dann durch den Unterschied von r und r_neu. Falls das für dich nicht "logisch" ist, mach doch eine Skizze von den zwei Kreisen :)
Bei den Aufgaben 5f und 5g kannst du ähnlich vorgehen, wie schon in Aufgabe 5e, die du ja lösen konntest.
5f) f(x) = -(2/x)^2 = -4 / x^2 = -4 * x^(-2) -> F(x) = ...
Die "Formeln":
https://www.schulminator.com/sites/default/files/wiki/trigonometrie-winkelfunktionen-im-rechtwinkligen-dreieck-sinus-kosinus-tangens-kotangens.png
x und y kannst du mittels der bekannten Seite 5cm und einem der gegebenen winkel (18° bzw. 72°) berechnen. (Du kannst auch einen der Seiten so berechnen und die andere mittels Pythagoras.)
Betrachten wir z.B. den Winkel 18° im Dreieck mit den Seiten 5cm, x und y:
y -> Ankathete
5cm -> Gegenkathete
=> Gegenkathete / Ankathete = tan(18°) <-> 5cm / y = tan(18°)
Die Gleichungen, die du am Ende aufstellst, sind im Prinzip korrekt, nur bin ich mir nicht sicher, ob du auch verstehst warum ^^ Denn die Gleichung V_verdrängt = V_Körper, die du zu Beginn aufgestellt hast, ist nicht korrekt.
Das verdrängte Wasser-Volumen entspricht dem Volumen des eingesunkenen Körperteils (nicht dem ganzen Körpervolumen). Also gilt:
V_verdrängt = V_eingesunken = h_eingesunken * A_Boje
(Verstehst du, weshalb diese Gleichung gilt? Hier kannst du nicht einfach die Gleichung aus dem anderen "Aufgaben-Typ" übernehmen, es handelt sich um eine andere Situation.)
Zudem hast du schon bestimmt:
V_verdrängt = m_Boje / roh_Flüssigkeit
Damit kannst du herleiten:
h_eingesunken * A_Boje = m_Boje / roh_Flüssigkeit
(Deine Berechnung für m_Boje habe ich nicht überprüft.)
Es wird ein Holzwürfel mit a=50cm + Dichte 0,8 g/cm³ hineingelegt.
Ich nehme an, es sollte heissen "A=50cm^2"? Dann hätte der Würfel die Kantenlänge 10cm, würde also gerade noch in den Zylinder passen. Wobei wir annehmen, dass sich dieser dann noch "frei" im Zylinder bewegen kann (sonst würde die Reibung an der Gefässwand die Rechnung verfälschen, bzw. man müsste diese berücksichtigen).
F_A = F_g
roh_Flüssigkeit * V_verdrängt * g = m_Würfel * g
-> V_verdrängt = m_Würfel / roh_Flüssigkeit
Das verdrängte Wasser-Volumen musst du dann noch in die Zylinder-Form bringen, um die Höhendifferenz zu berechnen.
Die ursprüngliche Frage wurde ja schon geklärt (?), also noch hierzu:
Gelten die drei zustände dann nicht im Gleichgewichtszustand?
Schimmen: F_A > F_g
Schweben: F_A = F_g
Sinken: F_A < F_g
Für die Beträge gilt:
Auftriebskraft = Gewichtskraft des Verdrängten Volumens (Flüssigkeit / Gas)
Der Holzblock sinkt dabei bis zu einer gewissen Tiefe ins Wasser ein und bleibt dann in dieser Lage. Das ist der Gleichgewichtszustand und es gilt F_A = F_g: Die Auftriebskraft ist gleich gross wie die Gewichtskraft, daher ist der Körper in Ruhe (bewegt sich nicht mehr).
Nun drückst du den Holzklotz tiefer ins Wasser. Dafür wendest du die Kraft F_D auf, also gilt: F_A = F_g + F_D bzw. F_A > F_g (der Holzblock verdrängt mehr Wasser als zuvor). Sobald du nicht mehr auf den Holzklotz drückst sind nur noch die beiden Kräfte F_A und F_g im Spiel. Die Kraft nach oben ist also grösser als diejenige nach unten, der Holzblock wird sich nach oben bewegen. Er ist erst wieder in Ruhe, wenn F_A = F_g gilt (wird wohl zunächst etwas hin- und her "schwappen").
Wenn du den Klotz etwas anhebst, passiert ähnliches. Es gilt (Kraft F_H wirkt zusätzlich gegen oben): F_A + F_H = F_g bzw. F_A < F_g. Wenn du den Block loslässt, wird er wieder tiefer in das Wasser einsinken und auch in die Gleichgewichtslage zurückkehren.
Du siehst also, die Zustände F_A > F_g und F_A < F_g sind keine Gleichgewichtszustände (wenn nur diese beiden Kräfte wirken), der Holzblock ist nicht in Ruhe wenn ein solcher Zustand eintrifft.
Nun kann es auch sein, dass ein Körper nicht genügend Flüssigkeit verdrängen kann, damit F_A so gross wie F_g wird. Wenn du z.B. einen Stein (hoher Dichte) in Wasser (kleinere Dichte) wirfst. Es gilt also F_A < F_g und der Stein sinkt bis zum Boden (ist dabei also auch nicht in Ruhe).
Ich hoffe ich, dass das so weit verständlich war. Bei weiteren Unklarheiten kannst du dich gerne noch melden :)
Die mittlere Kraft entspricht: F_m = Δp / Δt
Δp (Gewehr) = M * Δv (Gewehr) = M * v(Gewehr) = p (Gewehr)
Δp (Kugel) = m * Δv (Kugel) = m * v(Kugel) = p (Kugel)
(Δv = v, da die anfängliche Geschwindigkeit in beiden Fällen Null ist.)
Aufgrund der Impulserhaltung gilt: p(Gewehr) = p(Kugel)
Also gilt auch: Δp (Gewehr) = Δp (Kugel)
Es kommt also nicht darauf an, ob du den Impuls (bzw. Masse und Geschwindigkeit) aus der "Sicht" der Kugle oder des Gewehrs einsetzt, für beides erhälst du das gleiche Resultat. Deine Abweichung von 1 N kam durch die Rundung der Geschwindigkeit v(Gewehr) zustande.
Kleiner Tipp am Rande: Versuch dir doch solche Dinge auch mal selbst herzuleiten, die "logische" Grundlage hattest du ja schon, fehlte nur noch der mathematische "Beweis". Mit etwas Übung klappt das bestimmt und hilft für das Verständnis :)
Mit a/360° = phi/(2*pi) definierst du: a (in Grad) = phi (im Bogenmass). Dies ist nicht "falsch", hat jedoch wenig mit der ersten Gleichung phi=s/r zu tun.
phi = s / r <-> s = phi * r
-> phi = Winkel im Bogenmass
-> s = "umfasstes" Bogenstück bei diesem Winkel (nicht ganzer Umfang)
-> r = Kreisradius
Ähnlich wie hier dargestellt: https://elearning.physik.uni-frankfurt.de/data/FB13-PhysikOnline/lm\_data/lm\_282/auto/kap07/picts/vtangens.gif
Du kannst dir das folgendermassen "vorstellen":
s(phi = 2*pi) = 2*pi*r = ganzer Kreisumfang
s(phi) = phi*r -> "beliebiges" Bogenstück (je nach phi)
Für v0 ist ja 5 m/s mit der Richtung "vertikal nach unten" gegeben. Hier wird also vorgegeben, dass die Richtung "nach unten" positiv sein soll.
Demzufolge kannst du folgende Gleichungen herleiten:
v(t) = g*t + v0
s(t) = 1/2*g*t^2 + v0*t - h0
Damit kommst du in a) auf dasselbe Resultat und in b) auf die positive Geschwindigkeit.
Je nach dem, welche "Art" von Wendepunkt du betrachtest (und was für einen Abschnitt des Graphen).
http://www.mathe-online.at/mathint/anwdiff/grafiken/Kruemmung.gif
Sattelpunkte stellen auch Wendepunkte dar, aber mit horizontaler Tangente, hier ist die Steigung also Null.
Würdest du den Graphen nach rechts noch etwas weiter zeichnen, erhälst du dort (womöglich) eine grössere Steigung, als im eingezeichneten 1. Wendepunkt. Betrachtest du aber z.B. nur den Abschnitt bis zum 2. Wendepunkt, so wäre die Steigung im 1. Wendepunkt am grössten.
Betrachtest du z.B. eine Sinuskurve, so ist die Steigung am Wendepunkt "immer" die grösste (es gibt keine Sattelpunkte und die Funktion ist periodisch, also nicht "plötzlich" steiler).
Sinuskurve (lässt sich auf beide Seiten so fortsetzen):
http://de.bettermarks.com/wp-content/uploads/media/kem\_Tri\_TriWiGAllgSin\_6.jpg
Mit "genetische Aspekte" sind wohl Aspekte der Gesteinsgenese (Entstehung) gemeint. Beispielsweise werden Gesteine ja nach ihrere Genese in 3 Gruppen Eingeordnet: magmatisch, metamorph und sedimentär.
Falls du also das geologische Profil eines Gebietes kennst, kannst du die Gesteine nach ihrer Genese einordnen, aber auch Interpretationen zur Entstehung der ganzen Gesteinsformation aufstellen.
Die Zentripetalbeschleunigung (= Radialbeschleunigung), zeigt zum Kreismittelpunkt (ist entgegengesetzt zum Ortsvektor des sich bewegenden Objektes). Sie ist bei einer Kreisbewegung immer vorhanden (sonst wäre die Bewegung ja nicht gekrümmt).
a_r = w^2 * r
Die Tangentialbeschleunigung besitzt dieselbe Richtung, wie der Geschwindigkeitsvektor und beträgt:
a_T = r * α
Die Winkelbeschleunigung α entspricht der 1. Ableitung von w(t) nach t. Eine Tangentialbeschleunigung tritt also nur auf, wenn w(t) zeitabhängig (nicht konstant) ist.
Die Beschleunigung einer Kreisbewegung beträgt also "insgesamt" a = a_r + a_T, wobei a_T bei einer Bewegung mit konstanter Winkelgeschwindigkeit Null entspricht.
Hast du dir eines der dunklen oder ein eher transparentes Stück mitgenommen?
Bei dem transparent wirkenden Teil des Steins stimme ich mineralixx zu. Bei den dunklen und nicht-transparenten Bruchstücken hätte ich auf Tonstein (oder Mergel) getippt, der organischen Kohlenstoff enthält (ergibt eine dunkle bis schwarze "Färbung"), bin mir aber nicht wirklich sicher...
Du hast für Â_ji die falsche Zeile und Spalte gestrichen: Für Â_23 wird die 3. Spalte und 2. Zeile gestrichen (siehe dein Theorieblatt ^^).
Die Frage ist meiner Meinung nach etwas umständlich formuliert, daher wohl auch deine "Falschinterpretation". Eine andere Formulierung:
Ein anfängliches Volumen von 300 l Luft wird bei konstantem Druck erhitzt, wobei sich das Volumen verdoppelt. Die zugeführte Wärmemenge entspricht 400 kJ. Wie gross ist der herrschende Druck?
Der Druck stellt sich also nicht erst nach der Volumen-Verdoppelung ein, sondern ist im ganzen Prozess konstant.
ΔQ = m * Cp * ΔT -> du suchst m:
p*V = m*Rs*T -> m = p*V / ( Rs *T )
(Entweder setzt du V1 & T1 oder V2 & T2 ein, die Masse ist ja konstant, man erhält also dasselbe.)
-> m = p*V1 / (Rs*T1)
Du hast ja die Form und Grösse des begrenzenden Körpers gegeben: Ein Quader mit den Kantenlängen 3, 4, und 5 cm. Ich nehme mal an, dass diese Werte für die "Innenform" des Quaders gelten sollen, also musst du hier die Quader-"Innenfläche" (wie die Oberfläche) berechnen.
Falls es noch nicht klappt, kannst du dich gerne nochmals melden :)
f '(x) = 4*cos(2x) = 0
-> cos(2x) = 0
Wann gilt cos(a) = 0? Zu Hilfe kannst du dir z.B. den Einheitskreis aufzeichnen, dann solltest du dies erkennen können:
a1 = 1/2*pi, a2 = 3/2*pi, a3 = 5/2*pi, ...
-> a = (n - 1/2) * pi, n ∈ Z
Statt cos(a) soll nun cos(2x) gleich Null sein:
a = 2*x
(n - 1/2) * pi = 2*x
-> (n - 1/2) * pi/2 = x
In der hergeleiteten Matrix müsste in der untersten Zeile, zweite Spalte 16 stehen, nicht 24. Also 2*b*x und nicht 3*b*x. (Die weiteren Rechnungen habe ich mir nicht angeschaut.)
Die Erdbeschleunigung, welche du an einem gewissen Punkt auf der Erde erfährst hängt zum einen mit der geographischen Bereite zusammen und zum anderen mit der Masse im Untergrund (es gibt bestimmt noch weitere Parameter, diese Fallen mir hierzu ein).
Zum ersten Punkt: Je nach dem auf welcher Breite du dich befindest, erfährst du mehr oder weniger Fliehkraft (welche durch die Rotationsbewegung der Erde erzeugt wird). Diese "kompensiert" sozusagen einen Teil der Gravitation, da sie in die nach "oben" und nicht nach "unten" gerichtet ist. Da die Fliehkraft jedoch rotationssymmetrisch ist, klärt dies nicht deine Frage (ich wollte es nur der Vollständigkeit halber erwähnen).
Die Gravitation an einem Punkt hängt mit der Masse im Untergrund und in der Umgebung dieses Punktes zusammen, da ja die Gravitationskraft mit der Masse zunimmt.
Wird z.B. in einem Tal die Erdbeschleunigung gemessen, erhält man einen tieferen Wert, als man "erwarten" würde. Denn die Berge in der Umgebung "ziehen nach oben": Sie besitzen eine Masse oberhalb des Messpunktes, welche also in diesem Punkt eine Gravitationskraft nach (seitlich-)oben bewirken.
Nun findet man solche "Massen-Unebenheiten" nicht nur an der Erdoberfläche, sondern auch im Erdinneren. Beispielsweise kommt an ozeanischen Rücken der Erdmantel näher an die Oberfläche als im "Normalfall", bzw. ist Erdkruste dort dünner. Nun ist das Material der Erdkruste "leichter" (weniger dicht) als dasjenige des Erdmantels. Es befindet sich also mehr Masse im Untergrund und die Erdbeschleunigung ist grösser als "erwartet".
Dies ist nur ein "Typ" solcher "Unebenheiten", sollte deine Frage aber klären. Falls du mehr dazu wissen möchtest, kannst du dich gerne melden :)