Bogenmaß - Formeln?

Hab folgendes gelesen:

phi = s/r

phi ist gleichzusetzen mit einem Winkel oder?

und

alpha/360 = phi/2pi

Müsste nicht s/2pi stehen?? 2 pi wäre ja der Umfang und s dann die Länge des Bogens?

Answer 1

[Australia23]

Mit a/360° = phi/(2*pi) definierst du: a (in Grad) = phi (im Bogenmass). Dies ist nicht "falsch", hat jedoch wenig mit der ersten Gleichung phi=s/r zu tun.

phi = s / r   <->   s = phi * r

-> phi = Winkel im Bogenmass
-> s    = "umfasstes" Bogenstück bei diesem Winkel (nicht ganzer Umfang) 
-> r     = Kreisradius

Ähnlich wie hier dargestellt: https://elearning.physik.uni-frankfurt.de/data/FB13-PhysikOnline/lm_data/lm_282/auto/kap07/picts/vtangens.gif

Du kannst dir das folgendermassen "vorstellen":

s(phi = 2*pi) = 2*pi*r = ganzer Kreisumfang

s(phi) = phi*r  -> "beliebiges" Bogenstück (je nach phi)

Answer 2

[Halswirbelstrom]

α / 360° = φ / 2π   →   φ = α · 2π / 360°  bzw.   α = φ · 180° / π

Mit diesen Formeln kann der Winkel  φ  in den Winkel ins Bogenmaß bzw. der Winkel α in den Winkel ins Gradmaß umgerechnet werden.

Daraus leitet sich die Beziehung  1rad ≈ 57,3°  ab.

Gruß, H.

Answer 3

[Hamburger02]

Doch, das stimmt schon. Damit man die Winkel von ihrer Maßeinheit besser auseinanderhalten kann, verwendet man alpha für Angaben in Grad und das Kleinvieh benutzt man für die Angaben im Bogenmaß. Beidesmal ist es derselbe Winkel, bloß mit einer anderen Maßeinheit.

Nehmen wir z.B. einen Halbkreis.
Dann ist α = 180°/360°= 1/2
φ = π / 2π = 1/2

Im Kreis bezieht sich immer alles auf den Vollkreis.