Wendetangente berechnen?

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4 Antworten

ohne das jetzt konkret nachgerechnet zu haben - von der Idee und Herangehensweise ist dein Ansatz ok, genau so wird das gemacht.

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Kommentar von qqquestionnn
04.09.2016, 22:10

Okay danke, das reicht mir schon :)

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Ich habe mal rückwärts eine Funktion (von vielen) bestimmt, die die Bedingungen erfüllt.
Just for fun!

f(x) = x³ - 6x² + 11x - 4

Bei dieser ist f(2) = 2
                  f '(2) = -1
                 f ''(2) =  0

(2|2) ist der Wendepunkt.
Die Tangente ist t(x) = -x + 4

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Kommentar von Volens
05.09.2016, 09:42

Nachlieferung:
wir haben eine Kurvenschar f(x) = ax³ + bx² + cx + d

a frei wählbar
b = -6a           c = 12a - 1             d = 4 - 8a

Für alle diese gelten die Bedingungen der Aufgabe.
Macht doch mal Spaß, ein wenig zu spielen.
:-)

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Der Weg zum lösen dieser Aufgabe lautet Schritt für Schritt:

1.) Die ersten 3 Ableitungen der zu betrachtenen Funktion bestimmen              (hier zum Beispiel die Funktion f)

2.) Löse die Gleichung:    f´´(x) = 0 ----> Lsg für x

3.) Setze die erhaltenen Lösungen für x in f´´´(x) ein und überprüfe ob f´´´(x) für besagte Lösungen ungleich 0 ist  ----> Du erhälst die gesuchten Wendestellen

4.) Berechne die Koordinaten der Wendepunkte durch einsetzen der im vorherigen Schritt ermittelten gültigen Lösungen in die Ausgangsfunktion:

gültige Lsg für x ---> f(x)

Du hast nun also die gültigen Wendepunkte berechnet der Form W = ( x | f(x) )

5.) Bestimme nun die Steigungen der Tangenten an den Graphen in eben diesen Punkten durch einsetzen der X-Koordianten der gefundenen Wendepunkte in die erste Ableitung f´(x).

6.) Um die Gleichung der jeweiligen Wendetangente zu erhalten setze in folgende Gleichung ein, W = ( w(x) | w(y) ) sei dabei einer der ermittelten Wendepunkte :

g(x) = f´(w(x))*( x - w(x)) + w(y)

(oder ausführlicher)

Tangente(x) = {Steigung(in WP.)}*( x - {X_Koord.Wp}) + {Y_Koord.Wp.}

Ausrechnen liefert dir dann die bekannte Geradengleichung der Form:

y = m*x + b

Hier mal als kleines Beispiel (von Volens):

f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 4

_____________________1.)

f´(x) = 3x^2 - 12x + 11

f´´(x) = 6x - 12

f´´´(x) = 6

_____________________2.)

f´´(x) = 6x - 12 = 0 ----> x = 2  ist mögliche Wendestelle

_____________________3.)

f´´´(2) = 6 ungleich 0 -----> x = 2 ist Wendestelle

_____________________4.)

f(2) = 8 - 24 + 22 - 4 = 2

---> Wendepunkt W bei ( 2 | 2)

_____________________5.)

f´(2) = 12 - 24 + 11 = -1

---> Die Wendetangente besitzt die Steigung -1 .

____________________6.)

g(x) = (-1)*( x - (2) ) + (2) = -x + 4

{ " g(x) = Steigung*( x - X_Koord.) + Y_Koord. "  }

Damit lautet schließlich die Gleichung der Wendetangente hier in diesem Fall in der Form y = m*x + b :

y = (-1)*x + 4

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Vollkommen richtig. (:

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Kommentar von qqquestionnn
04.09.2016, 22:09

Danke danke danke, du rettest mich gerade, ich muss die Aufgabe nämlich morgen in Mathe vorstellen und war deshalb total verunsichert (auch wenn es ja eigentlich nicht so schlimm ist wenn ich einen Fehler mache aber trotzdem) aber jetzt bin ich beruhigt :)

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