Welche Zahl ist größer?
Neun hoch neun hoch neun,
neunundneuzig hoch neun oder
neun hoch neunundneunzig?
(und welche die zweitgrößte?)
9 Antworten
Mich verwundert es sehr, dass hier so viele Antworten falsch sind...
Das Potenzieren ist (wenn man keine Klammern setzt) rechtsassoziativ. Das heißt, dass
Wenn du die Schreibweise ganz rechts meinst, musst du die Klammern setzen. Da du dazu nichts explizit gesagt hast, gilt aber das linke.
Daher ist die richtige Antwort, dass
ist.
99^9 = 10^(9 • log(99) ≈ 10^(17,96)
9^99 = 10^(99 • log(9)) ≈ 10^(94,47)
9^(9^9) = 9^(10^(9 • log(9))) ≈ 9^(10^(8,588))
≈ 10^(log(9) • 10^8,588) ≈ 10^369.537.706
ergänzend
(9^9)^9 = (10^(9 • log(9))^9 ≈ (10^(8,588))^9
≈ 10^(9 • 8,588 ) ≈ 10^77,29
Geht auch ohne TR:
9^9^9 = 81^9 < 99^9 < 100^9 = 1 000 000 000 000 000 000 (18 Nullen)
9^99 = 9*9^98 = 9*81^49 ist auf jeden Fall größer als 10^18
9^9^9 = 81^9
Klammerung beachten!
9^9^9 = 9 ^ (9^9) ≠(9^9) ^ 9
Außerdem hast du Potenz und Multiplikation verwechselt: 9^9 ≠9×9
9 * 9^98 = 9 * 81^49
Diese Rechenregel gibt es nicht. Ich habe keine Ahnung, wie man da draufkommt!
Dass meine Antwort falsch war, haben bereits drei andere vor dir bemerkt und ich habe den Fehler 40 Minuten vor deinem Kommentar eingestanden.
Ich liege bereits im Staub, du musst nicht auch noch nachtreten ;-)
Ansonsten ist 9^99 = 9 * 9^98 = 9 * 9^(2*49) = 9 * (9^2)^49 = 9 * 81^49
Stimmt, im letzten Punkt hast du Recht. Mein Irrtum.
Du vergleichst
Um ein Gefühl für die Zahlen zu bekommen: 99 liegt zwischen 9^2 = 81 und 9^3 = 729. Daher weißt du, dass 9^9 wesentlich größer ist als 99. Demnach ist
Außerdem lässt sich 99^9 umformen:
während 9^99 sich so umformen lässt:
und nun sollte intuitiv klar sein, dass 9^90 größer ist als 11^9, das heißt:
Um noch eine bessere Vorstellung davon zu bekommen, wie riesig 9^9^9 ist:
Mein Taschenrechner hat bei der Berechnung einen Math Error ausgegeben.
Mein PC, der mit 64-bit Gleitkomma-Arithmetik rechnet, konnte das Ergebnis nicht darstellen und gab daher als Ergebnis Infinity (unendlich) aus.
Auch Google kann, wenn man eine Rechnung eingibt, das Ergebnis ausspucken. Bei 9^9^9 streikt Google jedoch,.
Die Berechnung der anderen beiden Werte ist kein Problem.
Dann solltest du Wolfram Alpha benutzen: https://www.wolframalpha.com/input/?i=9%5E9%5E9
Weil hier mehrere meinen, dass 9^9^9 nicht so groß wäre:
Potentztürme werden von oben nach unten gerechnet, also 9^9^9 = 9^(9^9) = 9^387420489
Das gibt eine Zahl mit knapp 370 Millionen Stellen, also weit größer als die beiden anderen Ausdrücke.
Hier hat es jemand ausgerechnet:
9^9^9 ist ungefähr 4,28 × 10^369.693.099
Zum Vergleich:
9^99 ist ungefähr 2,95 × 10^94
99^9 ist ungefähr 9,14 × 10^17
das kann man auch ganz leicht mit Wolfram Alpha ausrechnen, dann mit hunderten Stellen Genauigkeit.
Ich wüsste jetzt nicht, warum ich hunderte Stellen brauche. Die Anzahl an Dezimalstellen ist schon beeindruckend genug. Werde es mir trotzdem merken.
Asche auf mein Haupt! Da war ich wohl "etwas" unkonzentriert.
Kann man ja leider nur ein paar Minuten lang berichtigen. Jetzt bleibt das so stehen. Wie peinlich ;-)