3 Antworten
50⁹⁹ > 99!
Da 50 = (99+98+...+2+1)/99 und das arithmetische Mittel der Faktoren von einer Fakultät als Potenz mit Exponenten als Anzahl der Faktoren immer größer ist als die Fakultät selbst (außer bei 1! oder 0!).
Also n! < ((n+n–1+...+1)/n)ⁿ = ((n+1)/2)ⁿ für alle n größer oder gleich Zwei.
Beweisen lässt sich das mittels vollständiger Induktion.
Iduktionsanfang (n=2):
2! = 2 < ((2+1)/2)² = 2,25
Induktionsannahme:
n! < ((n+1)/2)ⁿ (für alle n≥2)
Induktionsbehauptung:
(n+1)! < ((n+2)/2)ⁿ⁺¹
Induktionsschritt:
(n+1)!
= (n+1) * n!
< (n+1) * ((n+1)/2)ⁿ
= 2 * (n+1)/2 * ((n+1)/2)ⁿ
= 2 * ((n+1)/2)ⁿ⁺¹
< ((n+1)/2)ⁿ⁺¹
< ((n+2)/2)ⁿ⁺¹
Dabei wurde in der dritten Zeile die Annhame eingesetzt. Wir haben also gezeigt, dass wenn wir annhemen, die Ungleichung gilt für ein n, dass diese auch für n+1 gilt. Mit dem Induktionsanfang haben wir gezeigt, dass so ein n, nämlich n=2, existiert. Es gilt also auch für 2+1=3, 3+1=4, ..., also für alle natürlichen Zahlen größer oder gleich Zwei. ■
Bei dir ist ja n=99, also gilt
99! < ((99+1)/2)⁹⁹ = 50⁹⁹.
50^99 ist größer als 50!
auch
auch 50^92 ist immer noch größer als 50!
aber
50^91 ist bereits kleiner als 50!
Wie kommst du auf 50!?
Lautet die Frage nicht, ob 99! Oder 50^99 größer ist?
50^99 ist selbstverständlich größer als 50, da 99 nur ein Exponent von 1 hat.
Du kannst es sehen, dass 50 hoch 99 größer ist, wenn Du die Exponenten der Zahlen vergleichst. Mit 50^99 wäre es ja eine fast 200-steilige Zahl.
Wie kommst du auf 50?
Lautet die Frage nicht, ob 99! Oder 50^99 größer ist?
50^91 ist bereits kleiner als 50!
HÄ ?