Was ist (10^80)! ?
Frage steht oben, ich will keine exakte Zahl nur halt ohne das Ausrufezeichen.
8 Antworten
Das Ausrufezeichen steht für "Fakultät". Das Rezept zur Berechnung lautet:
n! ist das Produkt aus allen ganzen Zahlen von 1 bis und mit n.
Beispiel: 4! = 1*2*3*4 = 24
Es wäre also:
(10^80)! = 1*2*3*4*5*6* .......... * 100000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
Das Ergebnis ist eine absolut gewaltig große Zahl.
Das Ergebnis ist eine absolut gewaltig große Zahl.
Natürliche Zahlen sind immer relativ gewaltig groß, weil es keine Obergrenze für sie gibt. ;)
Das entscheidende Stichwort lieferte schon @Zwieferl:
Die Stirlingsche Formel für den Natürlichen Logarithmus der Zahl n! lautet
(1) ln(N!) = N·ln(N) – N + ½·ln(2πN) + O.(1/N),
wobei 'O.(1/N)' „Ordnung 1/N“ gesprochen wird und bedeutet, dass dies in einer Größenordnung liegt, die man getrost vernachlässigen kann.
Diese Form der Stirling-Formel wird für große Zahlen sogar recht häufig verwendet, nämlich in der Statistischen Physik, auf der die Thermodynamik beruht.
Da N! bei der Berechnung der Anzahl der Möglichkeiten zur Anordnung in einem System mit N Teilchen eine wichtige Rolle spielt, ist ln(N!) besonders wichtig zur Berechung der Entropie.
Allerdings sind hier Zahlen der Größenordnungen zwischen 10²⁰ und 10³⁰ im Spiel (zwischen diesen Zahlen liegt immerhin ein Faktor von 10 Milliarden!) und nicht 10⁸⁰, was noch 10⁵⁰ mal mehr ist.
Mathematisch lässt es sich in etwa trotzdem quantifizieren, auch wenn die eigentliche Zahl Aus (1) findet man
(2) N! = e^{ln(N!)} ≈ e^{N·ln(N) – N + ½·ln(2πN)}
= e^{N·ln(N)}/e^{N} ·e^{½·ln(2πN)}
= (N/e)^N·√{2πN}
= N^{N}·e^{–N}·√{2πN}.
Bei N=10⁸⁰ ist der führende Term
(3) N^{N} = (10⁸⁰)^{10⁸⁰} = 10^{80×10⁸⁰} = 10^{8×10⁸¹},
was also eine 1 mit 8·10⁸¹ Nullen darstellt. Dazu ist
(4) e⁻⁸⁰ ≈ 1,8049×10⁻³⁵
und
(5) √{2π·10⁸⁰} ≈ 2,5×10⁴⁰,
sodass
(6) √{2π·10⁸⁰}·e⁻⁸⁰ ≈ 4,5×10⁵
ist. Dies ist der Faktor, mit dem man die Zahl im führenden Term multiplizieren muss. Man erhält
(7) 4,5×10^{8×10⁸¹ + 5}.
Kein Computer der Welt kann diese Zahl auch nur exakt ausdrucken, denn 10⁸⁰ soll die Zahl der Protonen im beobachtbaren Universum sein, und allein die Anzahl der Stellen dieser Zahl ist um das 80-fache größer (die weiteren 5 Stellen fallen für das Niederschreiben nicht ins Gewicht).
Die Zahlen (4), (5) und (6) habe ich mit der Rechnerfunktion berechnet. Den Rest liefern mir die Potenzgesetze.
Das ist einfach uuuurviel !!!
Eine Näherungsformel für sehr große n - wie es 10⁸⁰ ist - gibt die Stirling-Formel:
n! ~ √(2𝝅n)·(n/e)^n
- 70! ≈ 1,2·10¹⁰⁰ → Zahl mit 101 Stellen (die erste, die normale TR nicht mehr berechnen können)
- 170! ≈ 7,3·10³⁰⁶ → Zahl mit 307 Stellen wie du siehst, ist 170 nicht einmal 2½ mal so groß wie 70, aber deren Fakultät hat mehr als 3 mal so viele Stellen
- 10000! → Zahl mit 35560 Stellen
d.h. 10⁸⁰! kannst du dir überhaupt nicht ehr vorstellen. Vielleicht gibt es Computer, die das annähernd berechnen können, aber schon die Anzahl der Stellen ist vermutlich kaum vorstellbar.
Die Fakultät ... ist in der Mathematik eine Funktion, die einer natürlichen Zahl das Produkt aller natürlichen Zahlen (ohne Null) kleiner und gleich dieser Zahl zuordnet.
https://de.wikipedia.org/wiki/Fakultät_(Mathematik)
Berechnet wird die Fakultät so:
5! = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 = 120
was fakultät ist weiss ich auch, aber ich brauch die lösung
Das Ausrufezeichen bedeutet Fakultät. Also zuerst das in der Klammer lösen und dann das Ergebnis der Fakultät bilden.
Oder meintest du was anderes?
Soweit war ich auch schon, aber ich brauche eine Lösung.