Was ist (10^80)! ?

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9 Antworten

Das entscheidende Stichwort lieferte schon @Zwieferl:

Die Stirlingsche Formel für den Natürlichen Logarithmus der Zahl n! lautet

(1) ln(N!) = N·ln(N) – N + ½·ln(2πN) + O.(1/N),

wobei 'O.(1/N)' „Ordnung 1/N“ gesprochen wird und bedeutet, dass dies in einer Größenordnung liegt, die man getrost vernachlässigen kann.

Diese Form der Stirling-Formel wird für große Zahlen sogar recht häufig verwendet, nämlich in der Statistischen Physik, auf der die Thermodynamik beruht.

Da N! bei der Berechnung der Anzahl der Möglichkeiten zur Anordnung in einem System mit N Teilchen eine wichtige Rolle spielt, ist ln(N!) besonders wichtig zur Berechung der Entropie.

Allerdings sind hier Zahlen der Größenordnungen zwischen 10²⁰ und 10³⁰ im  Spiel (zwischen diesen Zahlen liegt immerhin ein Faktor von 10 Milliarden!) und nicht 10⁸⁰, was noch 10⁵⁰ mal mehr ist.

Mathematisch lässt es sich in etwa trotzdem quantifizieren, auch wenn die eigentliche Zahl  Aus (1) findet man

(2) N! = e^{ln(N!)} ≈ e^{N·ln(N) – N + ½·ln(2πN)}
                            = e^{N·ln(N)}/e^{N} ·e^{½·ln(2πN)}
                            = (N/e)^N·√{2πN}
                            = N^{N}·e^{–N}·√{2πN}.

Bei N=10⁸⁰ ist der führende Term

(3) N^{N} = (10⁸⁰)^{10⁸⁰} = 10^{80×10⁸⁰} = 10^{8×10⁸¹},

was also eine 1 mit 8·10⁸¹ Nullen darstellt. Dazu ist

(4) e⁻⁸⁰ ≈ 1,8049×10⁻³⁵

und

(5) √{2π·10⁸⁰} ≈ 2,5×10⁴⁰,

sodass

(6) √{2π·10⁸⁰}·e⁻⁸⁰ ≈ 4,5×10⁵

ist. Dies ist der Faktor, mit dem man die Zahl im führenden Term multiplizieren muss. Man erhält

(7) 4,5×10^{8×10⁸¹ + 5}.

Kein Computer der Welt kann diese Zahl auch nur exakt ausdrucken, denn 10⁸⁰ soll die Zahl der Protonen im beobachtbaren Universum sein, und allein die Anzahl der Stellen dieser Zahl ist um das 80-fache größer (die weiteren 5 Stellen fallen für das Niederschreiben nicht ins Gewicht).

Die Zahlen (4), (5) und (6) habe ich mit der Rechnerfunktion berechnet. Den Rest liefern mir die Potenzgesetze.

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Das ist einfach uuuurviel !!!

Eine Näherungsformel für sehr große n - wie es 10⁸⁰ ist - gibt die Stirling-Formel:

n! ~ √(2𝝅n)·(n/e)^n

  • 70! ≈ 1,2·10¹⁰⁰ → Zahl mit 101 Stellen (die erste, die normale TR nicht mehr berechnen können)
  • 170! ≈ 7,3·10³⁰⁶ → Zahl mit 307 Stellen     wie du siehst, ist 170 nicht einmal 2½ mal so groß wie 70, aber deren     Fakultät hat mehr als 3 mal so viele Stellen
  • 10000! → Zahl mit 35560 Stellen

d.h. 10⁸⁰! kannst du dir überhaupt nicht ehr vorstellen. Vielleicht gibt es Computer, die das annähernd berechnen können, aber schon die Anzahl der Stellen ist vermutlich kaum vorstellbar.

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Die Fakultät ... ist in der Mathematik eine Funktion, die einer natürlichen Zahl das Produkt aller natürlichen Zahlen (ohne Null) kleiner und gleich dieser Zahl zuordnet.

https://de.wikipedia.org/wiki/Fakultät_(Mathematik)

Berechnet wird die Fakultät so:

5! = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 = 120

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Kommentar von CrayyZae
16.07.2017, 12:30

was fakultät ist weiss ich auch, aber ich brauch die lösung

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Also ich als Senbon würde erstmal nur das in der Klammer rechnen also eine 1 mit 80 Nullen

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Das Ausrufezeichen bedeutet Fakultät. Also zuerst das in der Klammer lösen und dann das Ergebnis der Fakultät bilden.

Oder meintest du was anderes?

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Kommentar von CrayyZae
16.07.2017, 12:29

Soweit war ich auch schon, aber ich brauche eine Lösung.

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Das Ergebnis ist eine so lange Zahl, da reicht das Eingabefeld für die Antworten hier nicht aus!


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Kommentar von CrayyZae
16.07.2017, 12:55

ja kann man das irgendwie kompaktaufschreiben mit ner Potenz oder so

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Das Ausrufezeichen steht für "Fakultät". Das Rezept zur Berechnung lautet:

n!  ist das Produkt aus allen ganzen Zahlen von 1 bis und mit n.

Beispiel:     4! = 1*2*3*4 = 24

Es wäre also:

(10^80)! = 1*2*3*4*5*6* .......... * 100000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

Das Ergebnis ist eine absolut gewaltig große Zahl.

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Kommentar von SlowPhil
16.07.2017, 14:00

Das Ergebnis ist eine absolut gewaltig große Zahl.

Natürliche Zahlen sind immer relativ gewaltig groß, weil es keine Obergrenze für sie gibt. ;) 

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Du rechnest erst 10^80 und dann die Fakultät.

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Kommentar von CrayyZae
16.07.2017, 12:30

ja kein taschenrechner kann das ausrechnen

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Kommentar von Hairgott
16.07.2017, 12:48

Haha, deswegen hab ich ein Programm programmiert das das kann ;) wenn ich zuhause bin kann ich dir das ausrechnen...wenn du die genau Zahl willst.

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Kommentar von Hairgott
16.07.2017, 12:49

Da eine sehr hohe Zahl herauskommt muss ich das Programm wahrscheinlich noch Modifizieren.

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Gib's einfach mal bei www.wolframalpha.com ein. Da kommt heraus:

10^(10^81.90072591806955)

Die Zahl ist somit zwar groß, aber kleiner als ein Googolplex 10^(10^100).

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