Warum sind rationale Zahlen abzählbar?
Hallo,
Ich versteh nicht warum rationale Zahlen abzählbar sein sollen. Ich mein es gibt ja beispielsweise unendlich viele rationale Zahlen zwischen 0 und 1, wo ist das Bitteschön abzählbar ?
6 Antworten
Abzählbar bedeutet, dass du Zahlen sozusagen durchnummerieren kannst. Du kannst die rationalen Zahlen quasi so aufstellen, dass du jedem einen Zettel mit einer Nummer geben kannst. Stell es dir so vor: Da steht ein Mann mit einer Kiste mit unendlich vielen Keksen (genauer: mit so vielen Keksen wie es natürliche Zahlen gibt). Zu jedem Keks gibt es einen Zettel mit einer Nummer (der erste hat die 1, der zweite die 2 usw.
Wenn du z. B. die Zahlen zwischen 0 und 1 betrachtest, dann kannst du das so machen:
Zuerst bekommt die 0 einen Keks mit Zettel.
Dann die 1. Dann 1/2. Dann 1/3. Dann 2/3. Dann 1/4. Dann 3/4 (denn 2/4 = 1/2) hat ja schon einen. dann 1/5, 2/5, 3/5 usw.
Jede Zahl wird irgendwann drankommen, du kannst sogar ausrechnen, wann das spätestens der Fall gewesen ist. Auch wenn das insgesamt unendliche lange dauert, für jede einzelne Zahl ist das irgendwann erledigt. Das geht mit den rationalen Zahlen - und darum heißen die abzählbar. Mit den reellen geht das nicht, mit den komplexen erst recht nicht.
Hat mir am meisten geholfen bekommst morgen den Stern xD.
Hatte kp das das Thema so ausartet :D.
"abzählbar" und "unendlich viele" ist KEIN Widerspruch!
Glaubst du, dass nur endliche Mengen abzählbar sein können? Dann täuschst du dich!
Es gibt z.B. unendlich viele natürliche Zahlen. Trotzdem ist die Menge aller natürlichen Zahlen abzählbar :-)
"Abzählbar" bedeutet in diesem Fall nicht, dass man eine Anzahl aller rationalen Zahlen als eine konkrete positive ganze Zahl angeben kann, sondern es geht um eine "abzählbar unendliche Menge" von Zahlen. Es ist möglich, jeder rationalen Zahl auf bestimmte Weise eine eindeutige Nummer zuzuordnen, die aus der Menge der positiven ganzen Zahlen stammt. Bei dieser Nummerierung der rationalen Zahlen gibt es aber keine "größte Nummer". Man kann jedoch, wenn man so eine Nummerierung hat, mit gewissem Recht sagen, dass die Menge Q aller rationalen Zahlen die "gleiche unendliche Mächtigkeit" wie die Menge N aller natürlichen Zahlen (1,2,3,4, ......) hat.
0 , ±1 , ± 2 , ... , ±1/2 , ±3/2 , ±5/2 , … , ±1/3, ±2/3 , ±4/3 , ±5/3 , … ,
±1/4 , ±3/4 , ±5/4 ,…, ±1/5 , ±2/5 , ...
Ich hatte mit meinem 1. Gedanken der Abzählung einer Aufstellung von rationalen Zahlen also Recht. Bei deiner Aufstellung fehlen aber zwischendurch auch noch sehr viele rationale Zahlen z.B zwischen 1/2 = 0,50 und 1/3 = 0,33Periode die Zahlen 0,34; 0,35; 0,36 .... oder man kann auch die Tausender noch nehmen.
Im Übrigen können die Komplexen Zahlen genauso abgezählt werden, denn es sind ja die rationalen, nur dass die Imaginäreinheit noch dazuaddiert wird.
Ich frage mich nur, was das Ganze für einen mathematischen Sinn haben soll?! Das braucht keiner!
Nein, da fehlt nichts; das ist nämlich ein eigentlich zweidimensionales Schema, was man bei gf nicht besonders gut schreiben kann; hier ist es schön deutlich dargestellt: https://de.wikipedia.org/wiki/Cantors\_erstes\_Diagonalargument
Und lass das mit den Kommazahlen, das hilft hier gar nichts.
Bei meiner Aufstellung kommen aber alle Zahlen vor. Nicht der Größe nach geordnet, aber jede Zahl wird erreicht. Darum geht es. Wenn du meine Aufzählung mal genau anschauen würdest, dann würdest du sehen, dass das Vorgehen sehr systematisch ist: Ich betrachte alle Brüche. Und ich nehme zunächst alle Brüche, bei denen die Summe aus Zähler und Nenner 2 ist (davon gibt es einen). Dann kommen die Brüche, wo diese Summe 3 ist, also die Brüche 1/2 und 2/1. Dann die Brüche mit Summe 4, das sind 3/1, 2/2, 1/3. Wenn ich es besonders sauber machen will, dann lasse ich die Brüche, die gekürzt werden können, dann jeweils weg. So kommt jeder Bruch vor.
Die Zahl 0,34 z. B. entspricht dem gekürzten Bruch 17/50. Der kommt dann, wenn die Brüche mit der Summe 67 dran sind. Ich könnte jetzt die ganzen Brüche in meiner Aufzählung aufschreiben, da das aber ziemlich viele sind, sprengt das hier den Rahmen. Ich verweise da lieber auf dieses Bild:
https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Diagonal_argument.svg
Und dieses "Das braucht keiner"-Argument ist wirklich sinnlos. Mathematik ist ein weites Feld, wer wann was braucht, kann man vorher nicht wissen. Und vor allem sollte man nicht schließen, dass "keiner" das braucht, weil man selber nicht versteht, wozu das gebraucht wird.
Eine Menge M heißt abzählbar, wenn es eine Bijektion zwischen M und den natürlichen Zahlen gibt.
Das ist bei der Menge der rationalen Zahlen der Fall, Beweise findest du dazu im Internet.
https://de.wikipedia.org/wiki/Cantors_erstes_Diagonalargument
So geht's nicht - die Lücken müssen schon gefüllt sein (bzw. nur mit endlich vielen Zahlen). Oder du erklärst, warum abzählbar über abzählbar wiederum abzählbar ist. Die korrekte Aufzählung wäre etwa (ich lass die negativen weg, das kann man einfach verdoppeln)
0
1/1
2/1
1/2
1/3
2/2
3/1
1/4
2/3
3/2
4/1
usw.
Bei deiner Aufzählung kann ich nicht ausrechnen, an der wievielten Stelle z. B. 3/2 kommt. Es kommen ja unendlich viele Zahlen vorher. Das ist also keine Abzählung. Welche natürliche Zahl ist denn der rationalen Zahl 3/2 zugeordnet?