Warum sagt man Ableitung von s nach t?
Feynman schreibt: [...] die oben gefundene Größe ds/dt wird als "Ableitung von s nach t" bezeichnet (diese Ausdrucksweise hilft aufzuzeigen, was sich ändert)
Geschwindigkeit ist die zurückgelegte Strecke ∆s pro Zeiteinheit ∆t.
v=∆s/∆t
Noch genauer wenn möglich ist die Angabe wenn ∆t gegen 0 geht (dt) und man immer noch die Stecke die zurückgelegt wurde in diesem unendlich kleinen Zeitabschnitt dt bestimmen kann, also ds.
v = (lim ∆t-->0) ∆s/∆t = ds/dt
Aber was genau ist gemeint mit "diese Ausdrucksweise hilft aufzuzeigen, was sich ändert"? Mein ∆t ändert sich dementsprechend das es gegen 0 läuft? Oder meine Strecke ändert sich dementsprechend das sie auch unendlich klein wird?
Was genau macht diese Ausdrucksweise "Ableitung von s nach t" so hilfreich?
4 Antworten
Definition:Die Geschwindigkeit v ist der zurückgelegte Weg s pro Zeiteinheit t.
v=s/t → s=v*t hier v=konstant
durchschnittliche Geschwindigkeit v=(s2-s1)/(t2-t1)=∆s/∆t mit t2>t1
s1=zurückgelegter Weg zum Zeitpunkt t1
s2=zurückgelegter Weg zum Zeitpunkt t2
geht nun das Zeitintervall t2-t1 gegen NULL,so erhält man die
Momentangeschwindigkeit V(t)=ds/dt=S´(t) ist die 1.te Ableitung des Weges S(t)=.. nach der Zeit t
Hinweis: Differenzenquotient m=(y2-y1)/(x2-x1) mit x2>x1
Dies ist die Sekantensteigung durch 2 Punkte P1(x1/y1) und P2(x2/y2)
eine Sekante ist eine Gerade durch 2 Punkte.
m=(y2-y1)/(x2-x1) ist ein Steigungsdreieck → rechtwinkliges Dreieck
es gilt tan(a)=Gk/Ak=m=(y2-y1)/(x2-x1)
Winkel zwischen der Tangente und der x-Achse (a)=arctan(m)
Beispiel: f(x)=0,5*x² abgeleitet f´(x)=m=1*x=x
P1(1/0,5) und P2(2/2) zeichne die Sekante durch diese beiden Punkte
f´(2)=m=2 → ist die Tangente an der Stelle xo=2 → (a)=arctan(2)=63,43°
In Physik, Technik und Wissenschaft sind Ableitungen nach der Zeit t häufig, weil man damit zeigen kann, wie schnell etwas sich bewegt oder ändert (eben Änderung einer Grösse, z.B. die Strecke s, während sich die Zeit unaufhaltsam ändert).
Die sprachliche Ausdrucksweise finde ich auch nicht toll; es geht nicht darum, "was" sich ändert, denn das weiss man ja oder man bestimmt es eben selbst.
Vielmehr will man sagen, auf welche Art (z.B. Richtung und meist Schnelligkeit) dass sich eine bestimmte Grösse (die abhängige Variable y oder hier s) ändert, wenn sich die unabhängige Variable (x oder hier t) ändert.
Warum man "ableiten nach" sagt, weiss ich nicht, wohl irgendwie historisch gewachsen; man könnte auch "zu" oder "gemäss" oder "analog" oder "bei" oder "in Bezug auf" sagen.
- Wenn die Grösse sich gleichmässig ändert, ist der Betrachtungszeitraum egal, um die Änderungsgeschwindigkeit zu bestimmen; man bekommt immer das gleiche Verhältnis von ∆s/∆t, es braucht keine Ableitung.
- Wenn die Grösse sich ungleichmässig ändert, muss man entscheiden, wie genau man die momentane Änderungsgeschwindigkeit in einem bestimmten Punkt bestimmen will. Grafisch legt man die Tangente an die Kurve, die Tangente ist der Grenzfall einer Sekante in der Kurve, also die Verbindung zweier Punkte, wenn die Punkte immer näher rücken.
- Und wenn man die Verlaufsregel der unregelmässig ändernden Grösse kennt, sie also mit einer mathematischen Funktion beschreiben kann (z.B. Sinus bei einer Schwingung), dann findet man eben auch für die Änderungsgeschwindigkeit dieser Grösse eine Funktion. Also die Verlaufsregel der Änderung. Und diese Funktion nennt sich halt Ableitung nach der Zeit. Dann kann für jeden beliebigen Zeitpunkt (eben allgemein gültig) die momentane Änderungsgeschwindigkeit abgelesen bzw. direkt berechnet werden.
Ableitung sagt man einfach deswegen weil man aus der Funktion f(x) eine zweite Funktion durch eine bestimmte Rechenvorschrift Ableitet. Man wendet Quasi eine Funktion auf eine Funktion an, daher der Name Ableitung.
Von s nach t einfach nur darum weil man die Abhängigkeit von s durch die Variable t betrachtet.
Man erzeugt sich also eine Funktion welche die lokale Steigung von s über t repräsentiert.
y=f(x)=f→x
f(x) sprich: f ist eine Funktion in Abhängigkeit von der unabhängigen Variable x
f(x) sprich: kurz → f von x
y=f(x)= ist die abhängige Variable → Funktionswert
bei dir ist s der Buchstabe für den zurückgelegten Weg
Ableitung von S nach t → ist die Ableitung einer Funktion → Ableitungsfunktion → Anstieg der Tangente an einer beliebigen Stelle xo an der Funktion f(x)=...