Warum ist X^0,5 die Wurzel von X?

Mache gerade aus Spaß ein wenig Mathe und kam auf Potenzen. Als mir der Spezialfall x^0,5 vorgestellt wurde, habe ich mich gefragt warum es die Wurzel von X ist. Kann mir jemand einen Rechenweg zeigen der das besser verbildicht?

Danke ^^

Answer 1

[mihisu]

Mit „Wurzel“ meinst du wohl genauer die „Quadratwurzel“.

Bedenke, dass die Quadratwurzel als eine Umkehrung zum Quadrieren definiert ist. D.h. die Wurzel ist so definiert, dass...

$\left(\sqrt{a}\right)^{2}=a$

... für jede nicht-negative reelle Zahl a ist, sich dort also Quadrieren und Quadratwurzelziehen gegenseitig aufheben.

Bedenke nun andererseits die Rechenregeln...

$\left(a^{r}\right)^{s}=a^{r\cdot s}\quad \text{ und }\quad a^1=a$

... für das Rechnen von Potenzen reeller Zahlen. Damit kann man dann...

$\left(a^{\frac{1}{2}}\right)^{2}=a^{\frac{1}{2}\cdot 2}=a^1=a$

... nachvollziehen.

Vergleiche nun...

$\left(\sqrt{a}\right)^{2}=a\quad \text{ und }\quad \left(a^{\frac{1}{2}}\right)^{2}=a$

... miteinander, um besser nachvollziehen zu können, warum...

$\sqrt{a}=a^{\frac{1}{2}}$

... ist.

Bzw. ist 1/2 = 0,5. Dementsprechend also dann auch...

$\sqrt{a}=a^{\frac{1}{2}}=a^{0\text{,}5}$

Comments

[3c2ty]

Danke fürs erklären, kann es jetzt viel besser nachvollziehen als vorher :D

Answer 2

[Wechselfreund]

x^(1/2)*x^(1/2) = x^(1/2+1/2) = x^1 = x