Wann ist eine Funktion keine ganz rationale Funktion? Anschließend möchte ich wissen, ob diese Funktion hier eine ganz rationale Funktion ist?
Eine Freundin von mir meint :
Ich betrachte diese Funktion "z = 27 x^6 - 135 x^4 + 219 x^2 - 115 aber als eine ganz rational Funktion!
wer hat recht?
Danke fürs Beantworten!
Liebe Grüße!
4 Antworten
Die fehlen nicht, die kommen mit dem Vorfaktor 0 vor.
Du hast recht. Es müssen nicht alle Potenzen von x
vorkommen, bzw., wenn man es unnötig kompliziert
machen will, mit einem Faktor ungleich Null vorkommen.
Deine Freundin übersieht, dass die Faktoren a... auch 0
sein dürfen.
Man kann sich das ganz leicht veranschaulichen:
f(x) = x²
ist eine ganzrationale Funktion, da würde sicher auch deine
Freundin zustimmen. Und da "fehlen" zwei Potenzen von x.
In der Definition die Du aufgeschrieben hast steht ja, dass die Vorfaktoren a aus dem Bereich der reellen Zahlen sein dürfen, d. h. sie können auch Null sein. Und genau das sind sie auch bei den "fehlenden x'en". Du könntest theoretisch Deinen Funktionsterm auch so aufschreiben: z=27x^6+0x^5-135x^4+0x³+219x²+0x-115. Aber da diese Ergänzungen rein rechnerisch keine Auswirkung haben, läßt man sie in der Praxis weg; wegen des unnötigen Schreibaufwands und auch der Übersichtlichkeit.
Wichtig ist noch, dass der Exponent von x eine natürliche Zahl sein muss, damit es sich um eine ganzrationale Funktion handelt, also "Hoch 0, Hoch 1, Hoch 2, ..."; d. h. in der Definition müsste noch "n € IN" stehen, dann wäre es perfekt.
Das ist in der Tat eine ganzrationale Funktion, da sie eine Summe von Potenzfunktionen mit natürlichem Exponenten ist.
Umgekehrt Funktion ist dann und nur dann ganzrational, wenn sie eine Summe von Potenzfunktionen mit natürlichem Exponenten ist.
Nein. Denn x^-4 ist identisch mit 1/(x^4). Hier steht also die Variable im Nenner und somit ist das keine ganzrationale Funktion, sondern eine gebrochenrationale.
können die Exponenten aber nicht zu der Menge der Ganzen Zahlen gehören ? Z.B. "-4" ?