Wann ist ein LGS eindeutig lösbar?

Ist es im Allgemeinen nicht.

Ein LGS ist genau dann eindeutig lösbar, wenn die keine (lineare) Gleichung eine Folgegleichung der anderen ist - also ein Vielfaches einer anderen Gleichung oder die Summe (mehrer Vielfacher von) Gleichungen.

Wenn eine Gleichung durch Linearkombination zweier anderer Gleichungen hervorgeht, gibt es also - wenn es gleich viele Gleichungen wie Unbekannte gibt - keine eindeutige Lösung.

Mit der Information, dass man LGS auch als Matrizenprodukte schreiben kann, gilt das Kriterium: Ein LGS ist genau dann lösbar, wenn der Rang Koeffizientenmatrix nicht größer als der der erweiterten Koeffizientenmatrix ist. Für den Fall, dass beide Ränge gleich sind, ist es eindeutig lösbar.

Wenn die aus den Koeffizienten des linearen Gleichungssystem gebildete Determinante ungleich Null ist, dann hat das lineare Gleichungssystem genau eine Lösung.

Der Rang einer Matrix entspricht der Anzahl der Nichtnullzeilen der Matrix in Zeilenstufenform.

Es gibt eine eindeutige Lösung, wenn der Rang der (erweiterten) Koeffizientenmatrix der Anzahl der Variablen entspricht.