Vollständige Induktion - komplizierte Aufgabe. Wie fast man hier zusammen?

Ich komme beim Zusammenfassen auf keinen grünen Zweig...

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[Tannibi]

Was willst du denn zusammenfassen?

[Leonie2006785]

Ich habe es oben mal etwas konkretisiert.

Answer 1

[ralphdieter]

Mit 3²ⁱ=9ⁱ und 6ⁿ⁻ⁱ=6ⁿ/6ⁱ vereinfacht sich die Summe zur geometrischen Reihe
6ⁿ·Σ(3/2)ⁱ = 6ⁿ·[ (3/2)ⁿ−1 ] / [ (3/2)−1 ] = 2·9ⁿ−2·6ⁿ.

Dazu brauchst Du keine vollständige Induktion.

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[ralphdieter]

Korrektur (dank evtldocha):

6ⁿ·Σ(3/2)ⁱ = 6ⁿ·[ (3/2)ⁿ⁺¹−1 ] / [ (3/2)−1 ] = 3·9ⁿ−2·6ⁿ

passt also.

Answer 2

[evtldocha]

Der Induktionsschritt:

$\sum_{i=0}^{n+1}3^{2i}\cdot6^{\left(n+1\right)-i}=\sum_{i=0}^{n+1}3^{2i}\cdot6\cdot6^{n-i}=6\left(\sum_{i=0}^{n+1}3^{2i}\cdot6^{n-i}\right)=$ $6\cdot\left(\left(\sum_{i=0}^n3^{2i}6^{n-i}\right)+3^{2\left(n+1\right)}\cdot6^{n-\left(n+1\right)}\right)\ =$ $\left(IV\right)\ =\ 6\cdot\left(3\cdot9^n-2\cdot6^n\right)+\ 6\cdot9^{n+1}\cdot6^{-1}=$ $2\cdot3\cdot3\cdot9^n-2\cdot6^{n+1}+9^{n+1}=2\cdot9^{n+1}+9^{n+1}-2\cdot6^{n+1}=$ $3\cdot9^{n+1}-2\cdot6^{n+1}$ q.e.d.

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[Leonie2006785]

Vielen Dank! Leider bin ich nicht auf die Idee gekommen, dass ich schon gleich faktorisieren muss bevor ich aufteile.

[ralphdieter]

Der Induktionsschritt

ist korrekt. Nur der Induktionsanfang passt nicht:

0 ≠ 3·9⁰ − 2·6⁰

[evtldocha]

@ralphdieter

Nun ja. 1 = 1 kommt da raus.

[ralphdieter]

@evtldocha

Die leere Summe hat den Wert 0. Probier's einfach mal n=1:

3⁰·6¹ ≠ 3·9¹−2·6¹

Die zu beweisende Behauptung ist schlicht falsch.

[evtldocha]

@ralphdieter

Dann täuschen sich halt 3 Leute mit n=0, dann ist i=0 bis 0, n - i = 0-0 = 0, also steht an der 6 kein Exponent 1

[ralphdieter]

@evtldocha

Autsch, mein Fehler: Die obere Grenze n gehört natürlich zur Summe dazu.

Ich habe wohl zu viel C programmiert.