Unbestimmtes Integral: Wie kommt man darauf?
Ich verstehe bei S.96 Nr.5d) nicht, wie man auf die Stammfunktion
F(x)= 2/3√(2x+1)^3+C
kommen soll?
Woher kommt die 2/3? Ich komme immer nur auf 1/6.
4 Antworten
Man sich klar, dass es sich um eine Verkettung der Wurzelfunktion und der Gerade 2x+1 handelt. Die Kettenregel lautet
( u(v(x)) )' = u'(v(x))•v'(x).
Wenn unsere Ableitung (also unser Integrand) nun die Struktur rechts haben muss, damit unsere Stammfunktion u(v(x)) ist, muss unser Integrand die äußere Ableitung (hier die Wurzelfunktion) und die innere Ableitung (hier 2) beinhalten - beides ist gegeben.
u'(x) = sqrt(x)
v(x) = 2x+1 => v'(x) = 2
Wir brauchen nur noch die Stammfunktion von u'(x). Das ist u(x) =
x^(1/2) => 1/(1/2+1) x^(1/2+1) = 2/3 x^(3/2).
Wir können also
2 (2x+1)^(1/2)
wegen der Kettenregel
u'(v(x))•v'(x) = ( u(v(x)) )'
zusammenfassen zu
(2x+1)^(1/2)•2 = ( 2/3 (2x+1)^(3/2) )'.
Das integriert ist natürlich
2/3 (2x+1)^(3/2) + c = 2/3 sqrt(2x+1)^3 + c
die 2/3 sind korrekt.
Du hast die Form u^(1/2) , die ist integriert
u^(1/2+1)/(1/2+1) =
u^(3/2)/(3/2) = u^(3/2)*(2/3)
die 2 nach vorne ziehen
.
int (2x+1)^0.5
int (u)^0.5 ist
1/1.5 * u^(1.5)
1/1.5 = 1/(3/2) = 2/3
2/3 * u^(1.5)
Jetzt bedenken , dass noch durch die innere Ableitung geteilt werden muss : durch 2 ...........mal 1/2
und gleich die rausgezogene 2 wieder dazu
2 * 1/2 * 2/3 * u^(1.5) =
2/3 * wurz( (2x+1)³ )
Wie kommst du auf 1/6? Du hast hoch 1/2, da musst du 1 zu addieren, dann hast du 3/2, das musst du ausgleichen, daher kommt dann 2/3. Dann steht da noch eine 2 als Faktor vor, aber die hebt sich wegen der inneren Ableitung weg.