Wie kann ich die Stammfunktion bilden?
Hallo :)
Wieder einmal sitze ich an einer Matheaufgabe und bin am verzweifel. Unser Thema sind im Moment Integrale. Meine Aufgabe lautet, dass ich nachweisen soll, dass die Funktion F eine Stammfunktion der Funktion f ist. Leider bekomme ich bei keiner der Aufgaben das richtige Ergebnis heraus.
Die Aufgaben lauten:
a) f(x)=(2x+4)/(x-4) ---> F(x)= 2(6ln|x-4|+x)
b) f(x)=(3x)/(e^x) ----> F(x)= -3(x+1)*e^(-x)
c) f(x)=ln(2x-1) -----> F(x)= 1/2 * [(2x-1) * ln(2x-1) - (2x-1)]
Ich wäre euch so unendlich dankbar, wenn mir einer von euch helfen könnte. Es geht hier nicht um irgendwelche Hausaufgaben zu lösen, sondern ich möchte es einfach nur gerne verstehen. Ihr müsst mir diese Aufgaben auch gar nicht lösen, es geht mir nur darum zu wissen, wie ich es machen muss. Egal was ich bisher versucht habe, ich komme einfach nicht auf die richtige Lösung und wäre euch deshalb sehr dankbar, wenn ihr mir erklären könntet, wie es geht :)
4 Antworten
Hallo, die Aufgabe lautet ja, dass du nachweisen sollst, dass F(x) eine Stammfunktion von f(x) ist. Da genügt es, wenn du einfach die Ableitung von F(x) bildest und diese mit f(x) vergleichst. Demnach müsstest du in diesem Fall keine Integrale bilden, zumal diese Funktionen nur durch partielle Integration und Integration durch Substitution zu lösen sind.
Multipliziere den 2. Summanden mit (x-4)/(x-4). Dann hast du dastehen: 12/(x-4) + 2(x-4)/(x-4). Dann hast du 2 Brüche mit demselben Nenner und kannst ganz einfach die Zähler addieren.
Ok danke, und wie mach ich das? Also wie komme ich von 12/(x-4)+2 auf 2x+4/(x-4) ?
Also wenn ihr in der Schule keine partielle Integration durchgenommen habt, kannst du b) noch gar nicht integrieren und für a) und c) musst du substituieren. Aber für diese Aufgabe musst du nicht Integrieren sondern einfach die vorgegebene Stammfunktion ableiten und wenn das Ergebnis mit f(x) übereinstimmt, dann ist die Aufgabe auch erfüllt.
ok, also von partieller Integration habe ich noch nichts gehört, also dürfte ich das demzufolge auch noch garnicht bringen?!
Vielen Dank für deine Antwort :)
Kannst du oder jemand anderes vielleicht auch helfen beim ableiten der stammfunktion von a)? ich komme da auf 12/(x-4)+2....aber das ist doch nicht das selbe wie die Funktion f oder?
Die Stammfunktionen werden mithilfe der partiellen Integration bestimmt.
Es ist ∫ (u(x)*v'(x))dx = u(x)*v(x) - ∫ (u'(x)*v(x))dx + c.
a) Hier ist u(x)=2x+4 und v'(x)=x-4. Dann ist u'(x)=2 und v(x)=ln(|x-4|). Dann ergibt sich
∫ (2x+4) / (x-4) dx = (2x+4)*ln(|x-4|) - ∫ 2 * ln(|x-4|) dx + c1 =
(2x+4)*ln(|x-4|) - 2 ∫ ln(|x-4|) dx + c1
Mit partieller Integration finden wir auch die Stammfunktion zu g(x)=ln(|x|):
∫ ln(|x|) dx = ∫ 1 * ln(|x|) dx = x * ln(|x|) - ∫ x * 1/x dx + d1 =
x * ln(|x|) - ∫ 1 dx + d1 =
x * ln(|x|) - x + d =
x * ( ln(|x|) - 1 ) + d
Das verwenden wir nun noch in obiger Gleichung:
∫ (2x+4) / (x-4) dx = (2x+4)*ln(|x-4|) - 2 ∫ ln(|x-4|) dx + c1 =
(2x+4)*ln(|x-4|) - 2 ( (x-4) * ( ln(|x-4|) - 1 ) + d ) + c1 =
2x * ln(|x-4|) + 4 * ln(|x-4|) - 2x * ln(|x-4|) + 8 * ln(|x-4|) + 2x + c =
2x + 12 * ln(|x-4|) + c
b) Hier ist u(x)=3x und v'(x)=exp(-x). Dann ist u'(x)=3 und v(x)=-exp(-x). Dann ergibt sich
∫ (3x*exp(-x))dx = 3x*(-exp(-x)) - ∫ (3*(-exp(-x)))dx + c1 =
-3xexp(-x) +3 ∫exp(-x)dx + c1 =
- 3x/exp(x) - 3 / exp(x) + c =
- 3 (x+1) / exp(x) + c
c) Wir verwenden die bereits gefundene Stammfunktion von ln(|x|):
Es ist ∫ ln(|x|) dx = x * ( ln(|x|) - 1 ) + d, also
∫ ln(|2x-1|) dx = 1/2 * (2x-1) * ( ln(|2x-1|) - 1 ) + c .... Das 1/2 muss als Vorfaktor gesetzt werden, weil die Ableitung von 2x-1 den konstanten Wert 2 ergibt.
Ist die Stammfunktion bereits bekannt und man soll nur zeigen, dass F eine Stammfunktion von f ist, dann leitet man F ab und zeigt, dass F ' (x) = f(x) ist.
Sei F(x) Stammfunktion von f(x), also F(x) = ∫ f(x) ∙ dx
Beispiel:
F(x) = ∫ ( (2x + 4) ∙ (x - 4) ) ∙ dx = ∫ (2x² - 16) ∙ dx = 2∙ x³ / 3 - 16x + C
Probe:
F´(x) = 2/3 ∙ 3 ∙ x² - 16 + C = 2x² - 16
LG
Vielen Dank, es so zu versuchen, wäre mir garnicht eingefallen.
Aber mir geht es eher darum zu verstehen, wie man die Fuktion f integrieren muss, um auf die Stammfunktion F zu kommen, also wie man das macht...
Ich denke, Ableiten ist hier wesentlich einfacher als Integrieren, aber schau dir die b) nochmal genauer an, ich glaube da ist ein Schreibfehler.
Ja, du hast recht, da war ein Schreibfehler, danke :)
Dein Ergebnis stimmt schon, wenn du es noch auf einen Nenner/Bruchstrich bringst :)