Umformung zur zweiten und dritten Ableitung?

Hallo,

kann den Schritt von der ersten zur zweiten Ableitung nicht ganz nachvollziehen, und von der zweiten zur dritten erst recht nicht.

Wäre cool wenn jemand mir den Rechenweg aufzeigen könnte.

Merce

Answer 1

[Prism97]

Zunächst den Bruch umformen zu:

$x\cdot\left(x^2-4\right)^{-1}$

Und dann die Produktregel anwenden. Innere Ableitung der Klammer nicht vergessen.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Physikstudium (Astrophysik-Master)

Comments

[eshatgrad8uhr]

Danke aber der Teil war nicht so Schwer, es geht eher um die weiteren Ableitungen.

[Prism97]

@eshatgrad8uhr

Wenn du das verstanden hast, dann kannst du auch die anderen Ableitung machen. Genau das gleiche Prinzip. Umformen und Produktregel, sonst solltest du nichts brauchen. Werden einfach nur sehr lange und nervige Terme.

[eshatgrad8uhr]

@Prism97

Hm, ok hab es mit der Quotientenregel versucht und da wurde es sehr unübersichtlich. Werde es mit der Produktregel versuchen.

Answer 2

[Rammstein53]

$\frac{x}{x^2-4}\ =\ \frac{x}{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}$

Partialbruchzerlegung:

$\frac{x}{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}\ =\ \frac{0.5}{x+2}\ +\ \frac{0.5}{x-2}$

Umformen:

$\frac{0.5}{x+2}\ +\ \frac{0.5}{\left(x-2\right)}\ =\ \frac{1}{2}\left(\left(x+2\right)^{-1}\ +\ \left(x-2\right)^{-1}\right)$

Jetzt lassen sich die Ableitungen ganz einfach mit der Potenzregel bestimmen:

$f'\left(x\right)\ =\ -\frac{1}{2}\left(\left(x+2\right)^{-2}+\ \left(x-2\right)^{-2}\right)$ $f''\left(x\right)\ =\ \left(x+2\right)^{-3}\ +\ \left(x-2\right)^{-3}$

Auch wenn man es nicht auf Anhieb erkennt, ist diese Lösung identisch mit der Lösung in Deiner Frage.

Comments

[eshatgrad8uhr]

Oh man, ich glaube ich form nur noch um und nutze die Potenzfunktion, ist am einfachsten.

Answer 3

[gauss58]

f(x) = x / (x² - 4)

f'(x) = (1 * (x² - 4) - 2 * x * x) / (x² - 4)²

f'(x) = (1 * (x² - 4) / (x² - 4)²) - 2 * x² / (x² - 4)²

f'(x) = (1 / (x² - 4)) - 2 * x² / (x² - 4)²

f''(x) = (- 2 * x * 1) / (x² - 4)² - ((4 * x * (x² - 4)² - 2 * (x² - 4) * 2 * x * 2 * x²) / (x² - 4)⁴)

f''(x) = (-2 * x / (x² - 4)²) - (4 * x * (x² - 4)² - 8 * x³ * (x² - 4)) / (x² - 4)⁴)

f''(x) = (-2 * x / (x² - 4)²) - ((4 * x / (x² - 4)²) - 8 * x³) / (x² - 4)³)

f''(x) = (8 * x³ / (x² - 4)³) - 6 * x / (x² - 4)²

f'''(x) = ((24 * x² * (x² - 4)³ - 3 * (x² - 4)² * 2 * x * 8 * x³) / (x² - 4)⁶) -

(6 * (x² - 4)² - 2 * (x² - 4) * 2 * x * 6 * x) / (x² - 4)⁴

f'''(x) = (24 * x² / (x² - 4)³) - (48 * x⁴ / (x² - 4)⁴) - ((6 / (x² - 4)²) - 24 * x² / (x² - 4)³)

f'''(x) = (-6 / (x² - 4)²) + (24 * x² / (x² - 4)³) + (24 * x² / (x² - 4)³) - 48 * x⁴ / (x² - 4)⁴)

f'''(x) = (-6 / (x² - 4)²) + (48 * x² / (x² - 4)³) - (48 * x⁴ / (x² - 4)⁴)

Comments

[eshatgrad8uhr]

Danke für deine Mühe!