Trassierung 4. Grades Funktion ist das möglich?
Hallo,
Ich habe mich an dieser Aufgabe versucht, bin aber daran gescheitert
2 Straßen sollen in den Punkten P (0/0) und Q(4/4) mit einer Funktion 4. Grades glatt und krümmungsruckfrei verbunden werden.
Die Straße durch P hat die Funktion g(x)=-x Die Straße durch Q hat die Funktion h(x)=7x-24
Es soll keinen Wendepunkt bei der Verbindung geben.
Ist das überhaupt möglich mit einer Funktion 4. Grades? Um alle diese Bedingungen zu erfüllen braucht man ja 6 Bedingungen. Aber dann hab ich eine Matrize, die mir 6 Unbekannte ausrechnet, eine Funktion 4. Grades hat jedoch nur 5.
Kann mir jemand helfen?
3 Antworten
Normalerweise kommen ja eher Beschwerden, wenn jemand zu wenige Informationen hat. Du bist nun unzufrieden, weil Du zu viele Infos hast? :-))
Zuerst mal ist es mathematisch nicht tragisch, wenn man mehr Informationen hat, als man (eigentlich) benötigt. Nehme ich mal als Beispiel eine lineare Funktion. Auf dem Graphen liegen ja unendlich viele Punkte. Zu Bestimmung brauchst Du im Grund nur zwei Punkte. Wenn Du aber noch mehr Punkte gegeben hast (die auch auf dem Graphen liegen), stört das doch nicht, oder?
Ein Problem gibt es erst dann, wenn sich die Infos widersprechen. Also solltest Du schon erst mal das komplette Gleichungssystem aufstellen und lösen. In Deinem Fall lässt sich das LGS tatsächlich nicht lösen. Das wäre ein Beweis, dass es eine Funktion 4. Grades nicht geben kann, die die gegebenen Bedingungen erfüllt.
Insofern hast Du völlig Recht: Nimmst Du nun eine Funktion 5. Grades, sollte sich das LGS lösen lassen (tut es auch).
Oder Du verzichtest tatsächlich auf eine der 6 Bedingungen. Das hat aber zur Folge, dass es 6 verschiedene Funktionen gibt, die dann (möglicherweise) jeweils die eine Bedingung nicht erfüllen, die Du weggelassen hast.
Ob Du Bedingungen weglassen darfst, hängt von der Aufgabenstellung ab. Ich lese aus der Aufgabenstellung die "Standardbedingungen" ab, die auf genau Deine 6 Gleichungen führen. Von daher komme ich zu dem Schluss, dass es eben auch keine Funktion 4. Grades gibt, die alle Bedingungen erfüllen, eine Funktion 5. Grades allerdings schon.
Auch wenn ich sonst de mathematischen Meinungen von Volens und stekum teile, bin ich hier, was die Wendepunkte angeht, anderer Meinung. In Deiner Aufgabenstellung steht: "Es soll keinen Wendepunkt bei der Verbindung geben." Es ist also "nur" eine Aussage über die beiden Anknüpfungspunkte gemacht. Dort soll es keine Wendestelle geben. Die Bedingung "krümmmungsruckfrei" bedeutet ja auch, dass an der Anschlussstelle die beiden anknüpfneden Funktionen dieselbe Krümmung besitzen sollen. Da die Anschlüsse "von außen" Geraden sind, bedeutet dass, dass in den Anschlüssen gar keine Krümmung vorliegen soll. Somit müssen die zweiten Ableitungen jeweils null sein. Also sind die Bedinungen f''(0) = f''(4) = 0 aus meiner Sicht völlig korrekt.
(Dies sind zwar gleichzeitig die notwendigen Bedingungen für einen Wendepunkt, jedoch keine hinreichenden. Insofern sagen diese Bedinungen auch nichts darüber aus, ob an den Anknüpfungen tatsächlich Wendepunkte vorliegen.)
Die von Volens und stekum angegebene Funktion erfüllt an der Stelle x=4 nicht die Bedingung der Krümmungsruckfreiheit, da für f(x) = x⁴/32 - x gilt: f''(4) = 6 und eben nicht f''(4)=0, wie es der Anschluss an 7x-24 erfordern würde.
Übrigens: Typische Aufgaben in Klausuren zum Thema Trassierung sind, dass man zum einen selber eine passende Funktion bestimmen soll, andererseits aber auch vorgegebene Funktion dahingehend prüfen soll, ob diese sämtliche Bedingungen erfüllen.
Genau aus diesem Grund habe ich x3 und x2 stehen gelassen, da ich dachte, dass die Funktion Außerhalb vom Intervall [0;4] gekrümmt sein darf, nur eben nicht darin.
Das würde ich vom Ansatz her genau so machen. "Im Zweifelsfall" ergibt sich das aus der Rechnung, dass einige Koeffizienten null sind.
Gekrümmt ist der Graph von f im Intervall [0; 4] natürlich schon - sonst wäre es ja eine Gerade. Die Frage ist nur, ob unterschiedliche Kürmmungen (rechts, links) vorkommen (dürfen).
Die bislang errechneten Bedingungen stimmen insoweit nicht, dass eine nicht existierende 2. Ableitung nicht gleich Null gesetzt werden darf! Sondern dass keine Wendestellen auftreten, ist bedingt durch die Abwesenheit von x³ und x². Das nämlich brächte die Beulen in die Kurve. Die Konsequenz ist:
b = 0 und c = 0
Richtig erkannt wurde, dass e = 0 ist.
Dann erhält man aus der Kurve an der Stelle 4 die Gleichung
256a + 4d = 4 sowie aus der Ableitung an dieser Stelle
256a + d = 7
Das führt zu a = 1/32 und d = -1.
Dies wiederum ergibt für die Funktion:
f(x) = 1/32 x^4 - x
Diese Funktion erfüllt alle Bedingungen.
y = 0 bei x=0
y = 4 bei x=4
y' = -1 bei x=0
y' = 7 bei x=4
Eine tolle Aufgabe!
NB: Eine Überdefinition wäre kein Problem, wenn sie zu keinem Widerspruch führte. Aber dahingehende Spekulationen sind obsolet, weil die Vorausssetzungen ja nicht gegeben waren.
Ich hätte noch eine Frage zum Verständnis: Woher weiß man, dass x^2 zur einer weiteren Krümmung herbeigeführt? Bei x^3 verstehe ich das.
Ich stimme ausnahmsweise mal mathematisch nicht zu. Vergleiche meinen Kommentar zu Vatinka.
Sehe ich da was falsch?
Deine Funktion 4. grades sieht so aus: ax^4+bx^3+cx^2+dx+e also brauchst du 5 Bedingungen
f(0)=0 , f(4)=4 , f´(0)=minus1 , f´(4)=7
Die letzte Bedingung finde ich leider nicht, kannst du das denn bis hierhin nachvollziehen ?
Ja, das Problem ist ja eher, dass ich eine Bedingung zu viel habe und deswegen im Taschenrechner eine Unbekannte zu viel rauskommt :)
Letzen beiden Bedingungen sind f"(0)=0 und f"(4)=0
Aber ich kann ja nicht einfach eine wegstreichen, oder? Also müsste das nicht eine Funktion 5. Grades sein?
Deine letzten beiden Bedingungen sind nicht erlaubt,
es soll kein Wendepunkt auf der Verbindungskurve liegen.
Wenn aber doch zB P ein Wp ist, lautet die Fkt. f(x) = x⁴/32 - x
(also krümmungsruckfrei in P)
Vielen Dank für die Antwort :)
Mich hatte es einfach verwirrt, dass ich zuvor versuchen sollte, die Bedingungen mithilfe einer Funktion 3. Grades zu erfüllen und es dann, wenn es nicht möglich ist, es mit einer Funktion 4. Grades zu versuchen. Ich dachte nicht, dass ich 2 Aufgaben versuchen zu lösen soll, die beide nicht gehen :D
Wann darf ich denn Bedingungen weglassen und wann nicht, sodass trotzdem Anforderungen erfüllt werden?