Funktionsgleichung 3. Grades mit zwei gegebenen Punkten berechnen?
Hallo!
Von einer Funktion 3. Grades kennt man den Wendepunkt W(0I1).
Der Graph hat an der Stelle x=4 eine Nullstelle mit der Steigung k=2.
a) Stelle die notwendigen Bedingungen zur Auffindung der Funktionsgleichung auf
b) Berechne die Funktionsgleichung
Ich verzweifle an dem Beispiel. Kann mir hier irgendjemand weiterhelfen? Danke!
2 Antworten
Funktion 3. Grades
f(x) = ax³ + bx² + cx + d
Von einer Funktion 3. Grades kennt man den Wendepunkt W(0I1).
Erst einmal das natürlich der Punkt, durch den die Funktion f verläuft:
f(0) = 1
Außerdem ist es ein Wendepunkt. Um einen Wendepunkt zu berechnen, berechnest du ja immer die Nullstellen der 2. Ableitung, denn das ist die notwendige Bedingung. Also muss die 2. Ableitung im Wendepunkt (also f''(0)) gleich null sein:
f''(0) = 0
Der Graph hat an der Stelle x=4 eine Nullstelle mit der Steigung k=2.
Nullstelle:
f(4) = 0
Die Steigung gibst du ja mit der Ableitung an. Wir wissen also, dass an der Stelle die Ableitung 2 ist:
f'(4) = 2
Damit kannst du jetzt die Funktion 3. Grades berechnen. Vier Unbekannte und vier Bedingungen. Die reichen also aus. Wenn du trotzdem Probleme bekommst, frag nach.
LG TechnikSpezi
Du leitest die allgemeine Funktion ab.
f(x) = ax³ + bx² + cx + d
f'(x) = 3ax² + 2bx + c
Dort kannst du nun die Bedingung f'(4) = 2 einsetzten:
f'(4) = 3a*4² + 2b*4 + c
2 = 16*3a + 8b + c
2 = 48a + 8b + c
Damit hast du eine Gleichung des linearen Gleichungssystems (LGS).
Ebenso musst du die Grundgleichung ein weiteres mal ableiten (also auch die 2. Ableitung bilden) und dort eben die Bedingung mit der 2. Ableitung einsetzten.
f(x)=ax³+bx²+cx+d
f'(x)=3ax²+2bx+c
f"(x)=6ax+2b
W(0|1)
f(0)=1: d=1
f"(0)=0 : 2b=0 <=> b=0
f(4)=0 : 64a+4c+1=0
f'(4)=2 : 48a+c=2
16a+c=-1/4 und 48a+c=2
32a=9/4
a=9/128
c=2-27/8=-11/8
f(x)=9/128 x³-11/8 x+1
Danke! Ich wusste nicht so recht, was ich mit den Ableitungen machen soll.
Was ich mich dennoch frage ist, wie ich diese Bedingungen nun in die Rechnung zur Funktionsgleichung einbaue...